En dos artículos 1986 y 1988 Connor y Korajczyk propusieron un enfoque para modelizar los rendimientos de los activos. S
He calculado las ecuaciones y los dos enfoques parecen numéricamente equivalentes. Por supuesto, la asíntota difiere, ya que la convergencia se demuestra para $N \rightarrow \infty$ en lugar de $T \rightarrow \infty$ . Mi pregunta es: ¿alguien ha utilizado APCA y lo ha comparado con PCA? ¿Hay diferencias concretas? En caso afirmativo, ¿cuáles?
No hay absolutamente ninguna diferencia.
No hay absolutamente ninguna diferencia entre el ACP estándar y lo que C&K sugirieron y llamaron "ACP asintótico". Es bastante ridículo darle un nombre distinto.
He aquí una breve explicación del PCA. Si los datos centrados con muestras en filas se almacenan en una matriz de datos $\mathbf X$ entonces PCA busca los vectores propios de la matriz de covarianza $\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$ y proyecta los datos sobre estos vectores propios para obtener componentes principales. De forma equivalente, se puede considerar una matriz de Gram, $\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$ . Es fácil ver que is tiene exactamente los mismos valores propios, y sus vectores propios son PC a escala. (Esto es conveniente cuando el número de muestras es menor que el número de características).
Me parece que lo que sugirieron C&K es calcular los vectores propios de la matriz de Gram para calcular los componentes principales. Vaya. Esto no es "equivalente" a PCA; es es PCA.
Para aumentar la confusión, el nombre "ACP asintótico" parece referirse a su relación con el análisis factorial (AF), ¡no con el ACP! Los artículos originales de C&K son de pago, así que aquí están un presupuesto de Tsay, Analysis of Financial Time Series, disponible en Google Books:
Connor y Korajczyk (1988) demostraron que a medida que $k$ [número de características] $\to \infty$ el análisis de valores propios y vectores propios [de la matriz de Gram] es equivalente al análisis factorial estadístico tradicional.
Esto significa que cuando $k \to \infty$ PCA da la misma solución que FA. Este es un hecho fácil de entender sobre PCA y FA, y tiene nada que ver con lo que C&K sugirió. Lo discutí en los siguientes hilos:
Así que la conclusión es: C&K decidieron acuñar el término "ACP asintótico" para el ACP estándar (que también podría llamarse "AF asintótico"). Me atrevería a recomendar que nunca se utilice este término.
Normalmente, el APCA se utiliza cuando hay muchas series pero muy pocas muestras. Yo no describiría APCA como mejor o peor que PCA, debido a la equivalencia que ha señalado. Sin embargo, difieren en el momento en que las herramientas son aplicables. Esa es la idea del artículo: ¡se puede dar la vuelta a la dimensión si es más conveniente! Así, en la aplicación que mencionas, hay muchos activos, por lo que necesitarías una serie temporal larga para calcular una matriz de covarianzas, pero ahora puedes utilizar APCA. Dicho esto, no creo que APCA se aplique muy a menudo porque se podría intentar reducir la dimensionalidad utilizando otras técnicas (como el análisis factorial).
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