Valores propios de $AB$ y $BA$ donde $A$ y $B$ son matrices rectangulares

Question

Esta pregunta es una generalización de Valores propios de $AB$ y $BA$ donde $A$ y $B$ son matrices cuadradas .

Sea $A$ y $B$ sea $m\times n$ y $n\times m$ matrices complejas, respectivamente, con $m < n$ . Si los valores propios de $AB$ son $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ ¿cuáles son los valores propios de $BA$ ?

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Si las matrices fueran cuadradas, la conclusión se derivaría del hecho de que $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico . Con matrices rectangulares esto no va a ocurrir; ¿cómo proceder entonces?

Answer 1

Sea $\lambda\neq 0$ sea un valor propio de $AB$

Entonces, para algún $v$ , $ABv=\lambda v$

Por lo tanto $BABv=\lambda Bv$

Equivalentemente $(BA)(Bv)=\lambda (Bv)$

Tenga en cuenta que $Bv \neq 0$ . O $ABv=\lambda v=0$ Por lo tanto $\lambda=0$

Por lo tanto $\lambda$ es un valor propio distinto de cero de $BA$

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Conmutación $A$ y $B$ en la demostración anterior, también se cumple que un valor propio distinto de cero de $BA$ es un valor propio distinto de cero de $AB$

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Conclusión: $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios distintos de cero.

Answer 2

Este es un enfoque totalmente diferente, pero mucho más potente.

Voy a demostrar que $\chi_{BA}=(-X)^{n-m}\chi_{AB}$ por medios elementales.

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Sea $r=\operatorname{rank}(A)$

A partir de un conocido teorema, dedúzcase que existe $P,Q$ invertible $m\times m$ y $n \times n$ matrices tales que $$A=P\begin{bmatrix}I_r& 0\\ 0 &0\end{bmatrix}Q $$

donde $I_r$ denota el $r\times r$ matriz de identidad.

Por cambios de base, $$B=Q^{-1}\begin{bmatrix}E& F\\ G &H\end{bmatrix}P^{-1}$$

Para algunas submatrices $E,F,G,H$ .

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Tenga en cuenta que $AB=P\begin{bmatrix}E& F\\ 0&0\end{bmatrix}P^{-1}$ y $BA=Q^{-1}\begin{bmatrix}E& 0\\ G&0\end{bmatrix}Q$ .

Por lo tanto $\chi_{AB}=\det(E-XI_r)(-X)^{m-r}$ y $\chi_{BA}=\det(E-XI_r)(-X)^{n-r}$

Por lo tanto $\chi_{BA}=(-X)^{n-m}\chi_{AB}$ .

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Los resultados de las otras dos respuestas son ahora una simple consecuencia de la fórmula.

Answer 3

Además, tenga en cuenta que $BA$ tendrá un valor propio de $0$ , ya que es $n\times n$ pero el rango máximo de cada uno de $A$ y $b$ es $m<n$ .

Answer 4

Los polinomios característicos de $AB$ y $BA$ siguen siendo $\lambda^{m-r}p(\lambda)$ y $\lambda^{n-r}p(\lambda), p(0) \neq 0$ la razón es $tr(AB)^k = tr(BA)^k$ para todos $k$ . mostrando que los coeficientes de los polinomios característicos son iguales.

Answer 5

Los valores propios son raíces del polinomio característico. Queremos encontrar la conexión entre los polinomios característicos de AB y BA. Sea $\chi_M(x)$ denota un polinomio característico $\chi_M(x) = det(x - M)$

Probemos el hecho: Para cuadrado matrices $A$ y $B$ tiene $det(AB - x) = det(BA - x) \Leftrightarrow \chi_{AB}(x) = \chi_{BA}(x)$ .

Si $det(A) \neq 0$ entonces se deduce de $det(AB - x) = det(A^{-1}A)det(AB - x) = det(A^{-1})det(AB - x)det(A) = det(BA - x)$ .

Si $det(A) = 0$ hay un número finito de tales $s \in \mathbb R$ que $\chi_A(s)=0$ porque $\chi_A(s)$ es un polinomio de grado finito. Entonces hay un número infinito de tales $s$ que $\chi_A(s) \neq 0$ . Para todos estos $s$ sabemos $\chi_{(A-s)B}(x) = \chi_{B(A-s)}(x)$ como resultado de un caso anterior. Para cada $x$ vemos dos polinomios de grado finito ( $x$ es fijo, $s$ es variable) $\chi_{(A-s)B}(x)$ y $\chi_{B(A-s)}(x)$ que son iguales en infinitos puntos. Entonces concluimos que son iguales en cada $s$ . En $s = 0$ obtenemos el resultado $\chi_{AB}(x) = \chi_{BA}(x)$ en cada $x$ .

Para matrices cuadradas, ¡hemos terminado!

Dato clave (prueba a continuación): Si $A$ es $m\times n$ , $B$ es $n\times m$ y $n \geq m$ entonces $\chi_{BA}(x) = \lambda^{n-m}\chi_{AB}(x)$ .

Considere $n\times n$ matrices $A' = \left(\dfrac{A}{0}\right)$ y $B' = (B\mid0)$ . Acabamos de poner cero filas y columnas para hacer matrices $n\times n$ .

Primero, $B'A' = BA \Rightarrow x - B'A' = x - BA \Rightarrow \chi_{B'A'}(x) = \chi_{BA}(x)$

Segundo, $A'$ y $B'$ son matrices cuadradas. Entonces debido al hecho anterior tenemos $\chi_{B'A'}(x) = \chi_{A'B'}(x)$ .

Tercero, $\chi_{A'B'}(x) = det(x - A'B') = det\begin{pmatrix}x - AB & 0 \\ 0 & \begin{matrix}x & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & x & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & x \\\end{matrix}\end{pmatrix} = det(x - AB)x^{n - m} = x^{n-m}\chi_{AB}(x)$

Así, vemos $\chi_{BA}(x) = \chi_{B'A'}(x) = \chi_{A'B'}(x) = x^{n-m}\chi_{AB}(x)$ . Entonces vemos todos los valores propios de $AB$ son valores propios de $BA$ y otros $n-m$ los valores propios son ceros en $BA$ .