Sea $(G, \cdot)$ sea un grupo finito de orden $n$ . Considera el mapa:
$$G \to G, g \mapsto g^k$$
para $k$ , $n$ coprimo. Esto es inyectivo, pero generalmente no es un homomorfismo.
Definir un nuevo grupo $G_k = (G,\circ)$ por:
$$g \circ h = (g^k h^k)^{\frac{1}{k}}$$
donde naturalmente $g \mapsto g^{\frac{1}{k}}$ es la inversa (bien definida) de $g \mapsto g^k$ . Es fácil comprobar que se trata de una operación de grupo válida.
Pregunta : ¿Es cierto que $G \cong G_k$ para todos $k$ coprimo a $n$ ?
El mapa es claramente un isomorfismo si $G$ es abeliano (o más generalmente, $k$ -abeliano). Además, nótese que el orden de cualquier $g \in G_k$ es el mismo que el orden de $g \in G$ . Así, $G, G_k$ tienen la misma secuencia de orden, por lo que según esta respuesta cualquier contraejemplo debe tener $n \ge 16$ y no estoy muy familiarizado con estos grupos. (Pero no espero que la afirmación sea cierta).
También me di cuenta de que si $G \sim H$ cuando $H \cong G_k$ para algunos $k$ (coprimo de $|G|$ ), entonces $\sim$ es una relación de equivalencia.
