¿Por qué las funciones generadoras de probabilidad tienen radios de convergencia diferentes?

Question

¿Por qué las funciones generadoras de probabilidad tienen radios de convergencia diferentes?

Por ejemplo, si $X \sim Pois(k; \lambda)$ entonces la función generadora de probabilidad es P(z) = $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^\lambda \lambda^k}{k!} z^k$ y utilizando el prueba de relación encontramos que el radio de convergencia $R = \infty$ (es decir, convergencias en serie absolutas para todo $z$ ). También para la distribución binomial obtenemos $R = \infty$ .

En comparación, si $X \sim Geo(k; p)$ entonces el radio de convergencia es $R = \frac{1}{1-p}$ .

Parece que tales diferencias con respecto al radio de convergencia podrían contener información útil sobre diferentes "clases" de distribuciones de probabilidad. Pero no sé si hay alguna razón fundamental que lo explique.

Answer 1

El radio de convergencia nos habla de los momentos exponenciales máximos que admite la variable aleatoria subyacente, que nos dan el correspondiente decaimiento exponencial en la cola de esa variable aleatoria por desigualdad de Markov.