¿Functor olvidadizo de módulos R a grupos abelianos?

Question

Estoy tratando de ver, si el functor olvidadizo de $\mathbb{Z}[X]$ -módulos a grupos abelianos es exacta y en caso de que no lo sea, es exacta a la izquierda o a la derecha.

En general, entiendo la definición de un functor. En mi ejemplo el functor olvidadizo "olvida" la multiplicación escalar en $\mathbb{Z}[X]$ pero recuerda la adición.

Mi problema es que no sé cómo aplicar estas definiciones a un ejemplo concreto. He intentado aquí con algo: ( $G$ y $G'$ son grupos abelianos)

Si el functor olvidadizo es exacto a la izquierda, entonces empezamos la secuencia con el núcleo trivial $0\rightarrow \mathbb{Z}[X]\overset{f}{\rightarrow}G\overset{g}{\rightarrow}G'$ aquí tengo que comprobar que $f$ es inyectiva y $im(f)=ker(g)$ . Si fuera correcto exacto, deberíamos tener $\mathbb{Z}[X]\overset{f}{\rightarrow}G\overset{g}{\rightarrow}G'\rightarrow 0$ donde $g$ debe ser suryectiva y $im(f)=ker(g)$ .

¿Cómo podemos mostrar esta formalidad? ¿Puede alguien ayudarme con este ejemplo, por favor?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $R$ es un anillo cualquiera, entonces el functor olvidadizo $\mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Ab}$ es exacta. Recordemos que exacto := exacto izquierdo + exacto derecho := preservación de límites finitos y colímites finitos. De hecho, el funtor olvido preserva todos límites y colímites. La razón es que realmente se construyen límites y colímites de $R$ -como límite y colímite de los grupos abelianos subyacentes y los dota de un efecto de $R$ -estructura del módulo. He aquí una explicación más concisa: Los adjuntos a la izquierda preservan los colímitos, y los adjuntos a la derecha preservan los límites. El functor olvido tiene un adjunto derecho que mapea un grupo abeliano $A$ a la $R$ -módulo $\hom_{\mathbb{Z}}(R,A)$ . Tiene un mapa adjunto izquierdo de un grupo abeliano $A$ a la $R$ -módulo $R \otimes_{\mathbb{Z}} A$ .

Edición: Si utilizas la definición de funtores exactos del álgebra homológica (no de la categoría general), es decir, la preservación de secuencias exactas cortas, observa que una secuencia de $R$ -módulos $A \to B \to C$ es exacta si la imagen de $A \to B$ es el núcleo de $B \to C$ pero que estas imágenes y núcleos son sólo los de los homomorfismos subyacentes de grupos abelianos. Por lo tanto, $\mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Ab}$ preserva las secuencias exactas.