Colecciones cuasi-coherentes en el enfoque del Funtor-de-puntos

Question

¿Cómo se definen las gavillas cuasi-coherentes en los esquemas?

Digamos que empezamos definiendo la categoría de esquemas afines Aff como CRing $^{op}$ (la categoría opuesta de los anillos conmutativos unitarios). En este contexto tenemos una forma obvia de definir las gavillas cuasi-coherentes:

Una gavilla cuasi-coherente sobre un esquema afín X=Spec A es simplemente un módulo A.

Si ahora definimos los esquemas como presheaves sobre Aff (que satisfacen alguna condición), ¿cómo definimos lo que es un sheaf cuasi-coherente? La misma pregunta se aplica también a las operaciones de pushforward y pullback, que en Aff tienen definiciones obvias.

Answer 1

Parece que la gente ha respondido a esta pregunta con muchos puntos de vista de alto nivel. Pero creo que todavía vale la pena mencionar que dado un Functor F de Esquemas^{op} a Conjuntos, una manera de hablar con los pies en la tierra es dar una gavilla q.coh. en F es equivalente a dar una gavilla q.coh. en X para cualquier elemento de F(X), de una manera compatible tal que los pull-backs dan datos compatibles y se satisfacen algunas condiciones de cociclo.

Answer 2

El correspondiente Página de nlab tiene varias aproximaciones a la definición de gavillas cuasicoherentes de módulos O, incluyendo algunas en la aproximación del functor de puntos, en varios grados de abstracción. Todas estas definiciones, aunque aplicables simultáneamente, definen categorías equivalentes. Esto funciona no sólo para (módulos qcoh) sobre esquemas sino sobre funtores más generales *(por ejemplo, pilas) sobre Aff. Busca también algunas referencias citadas allí, incluyendo el artículo de Orlov mencionado por Zhang en el comentario anterior.

Answer 3

Se puede definir la categoría de gavillas cuasicoherentes sobre un esquema o pila (o un functor arbitrario) como el límite sobre todos los afines Spec R que mapean a la pila de las categorías R-Mod. Sin embargo, se necesitará algún teorema de descenso para comparar esto con una definición más habitual. La misma definición funciona para las categorías ( $\infty$ -refinamiento categórico de) la categoría derivada de las láminas cuasicoherentes. (Esto lo aprendí en el estudio de Toen sobre Pilas superiores y derivadas).

Answer 4

Se puede definir una gavilla cuasicoherente sobre un functor $X : \mathrm{AffSch^{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ como elección de un módulo $R$ módulo $F_x$ por cada $x \in X(\mathrm{Spec}R)$ junto con algunos isomorfismos de compatibilidad. Si $X$ es el functor de puntos del esquema, y $F$ es una gavilla cuasicoherente honesta en este esquema, entonces $F_x$ es sólo el retroceso a $\mathrm{Spec} R$ a través del mapa $x$ . Los isomorfismos de compatibilidad que requerimos son los que surgen naturalmente de la pseudofunctorialidad del pullback. Los detalles se dan en la segunda página de las siguientes notas de una conferencia de Jacob Lurie http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Nov17-19(Crystals).pdf .

Answer 5

Para los no expertos por ahí, he encontrado este gran artículo expositivo por Gomez http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9911/9911199v1.pdf

Haces casi coherentes se definen en la definición 2.45 (del mismo modo Dinakar y Yuhao definición)