¿Por qué el valor esperado de una integral estocástica es igual a $\sum_k (\tau_k - t_k)$ donde $\tau_k$ denota los puntos de partición?

Question

En el libro "Handbook of Stochastic Methods for Physics" de Crispin y Gardiner, encontré el siguiente cálculo para demostrar que las integrales estocásticas dependen de la elección de los puntos de partición .

En primer lugar, definimos la integral estocástica $\int_{t_0}^t W(t') dW(t')$ como límite de las sumas parciales: \begin{align} S_n = \sum_{i=1}^n W(\tau_i) [W(t_i)-W(t_{t-1})] \, , \end{align} donde $\tau_i$ denota una elección específica de puntos intermedios.

Entonces podemos calcular \begin{align} \langle S_n \rangle &= \langle \sum_{i=1}^n W(\tau_i) [W(t_i)-W(t_{t-1})] \rangle \\ &=\sum_{i=1}^n [\text{min}(\tau_i ,t_i) -\text{min}(\tau_i,t_{i-1}) ] \\ &= \sum_{i=1}^n (\tau_i-t_{i-1}) \, . \end{align} No entiendo el primer paso aquí. ¿Por qué el valor de expectativa es igual a una diferencia de mínimos?

Answer 1

No, tu segundo "insight" en los comentarios $⟨W(t)W(s)⟩=0$ para $s\ne t$ está mal, creo que estabas pensando en la independencia de los incrementos, $⟨dW(t)dW(s)⟩=0$ .

Para las rutas propiamente dichas se obtiene por $t<s$ $$⟨W(t)W(s)⟩=⟨W(t)W(t)⟩+⟨W(t)(W(s)-W(t))⟩=t,$$ como la ruta en $[0,t]$ es independiente de la trayectoria (incremental) en $[t,\infty)$ . Si no se asume el orden de los argumentos, entonces $⟨W(t)W(s)⟩=\min(s,t)$ resultados.