¿Por qué $(k-2)!-k \left\lfloor \frac{k!}{(k-1) k^2}\right\rfloor = 1,\;k\ge2\;\implies\;\text{isPrime}(k)$

Question

Sea $k$ sea un número entero tal que $k\ge2$

¿Por qué $$(k-2)!-k \left\lfloor \frac{k!}{(k-1) k^2}\right\rfloor = 1$$ sólo cuando $k$ ¿es primo?

Ejemplo:

$$\pi(n) = \sum _{k=4}^n \left((k-2)!-k \left\lfloor \frac{k!}{(k-1) k^2}\right\rfloor \right),\;n\ge4$$

donde $k=4,$ desde entonces:

$$\pi(4)\quad=\quad(4-2)!-4 \left\lfloor \frac{4!}{(4-1) 4^2}\right\rfloor = 2$$

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He intentado evaluarlo de diferentes formas, y probablemente estoy pasando por alto algo obvio; así que si alguien tiene alguna información al respecto, por favor, compártala.

Answer 1

Si $k$ no es primo, entonces la ecuación es $0$ modulo $k$ . (Tenemos $(k-2)! \equiv 0 \pmod{k}$ .)

Por el contrario, si $k$ es un primo, entonces por el teorema de Wilson $(k-2)! \equiv 1 \pmod{k}$ .

Editar: (Para completar el argumento.) Si $k$ es un primo, entonces $(k-2)! = 1 + l k$ para algunos $l \ge 0$ . Equivalentemente $l = \frac{(k-2)! - 1}{k}$ y debemos demostrar que $l = \left\lfloor \frac{k!}{(k-1)k^2} \right\rfloor$ . Pero esto es cierto ya que

$$\left\lfloor \frac{k!}{(k-1)k^2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{(k-2)!}{k} \right\rfloor$$ y el mayor número por debajo de $(k-2)!$ que sea divisible por $k$  es $(k-2)! - 1$ .