¿Por qué no hay un centro de carga?

Question

A la hora de determinar la atracción gravitatoria entre 2 cuerpos sólidos, podemos simplificar los cálculos considerando que sus masas se concentran en sus respectivos centros de masa. Sin embargo, si se tratara de cuerpos cargados eléctricamente y tuviéramos que calcular la atracción electrostática, no dispondríamos de la noción de "centro de carga". ( Evaluaríamos una integral bidimensional, o equivalentemente, aplicaríamos la ley de Gauss. )

¿Existe alguna razón sencilla para la ausencia de dicho centro de carga? Frecuentemente, tengo la respuesta: "la carga simplemente no funciona así".

Answer 1

No existe un "centro de carga" que simplifique completamente los cálculos porque tampoco existe un centro de gravedad que lo haga.

Dos cuerpos rígidos sienten una gravedad bastante parecida a la de las masas puntuales, pero no exactamente igual. A menos que los objetos sean esferas perfectas, sienten fuerzas de marea que dependen de las derivadas de segundo orden y superiores del potencial.

Sólo podemos calcular las interacciones gravitatorias como puntos en el centro de masa si queremos ignorar estos efectos de segundo orden. En el día a día, utilizando la gravedad para cosas como jugar al béisbol con tu sobrino, eso está bien. Las fuerzas de marea suelen ser muy pequeñas en las aplicaciones que encontramos porque los fenómenos son pequeños comparados con las escalas de longitud características implicadas (por ejemplo, la trayectoria de una pelota de béisbol es pequeña comparada con el radio de la Tierra, el diámetro de la Tierra es bastante pequeño comparado con la distancia Tierra-Sol, etc.).

Efectivamente, podemos hacer la misma aproximación de primer orden en electrostática que en gravedad newtoniana. En la práctica, se suele utilizar un procedimiento ligeramente distinto, denominado expansión multipolar . En primer lugar, se fija un punto de referencia. La carga total, denominada momento monopolar, es independiente de este punto de referencia, por lo que si se desea que la aproximación de primer orden sea buena, conviene elegir un punto de referencia cercano al centro de la distribución de carga. Los efectos de orden superior se calculan en relación con el punto de referencia calculando dipolo , cuadrupolo y momentos superiores de la distribución de carga. Es más probable que estos órdenes superiores entren en juego en la vida cotidiana en electrostática que en gravedad, porque el tamaño de las distribuciones de carga es similar a la separación entre cuerpos cargados (por ejemplo, dos globos que te frotas en la cabeza y con los que estás jugando no están muy separados entre sí, en comparación con sus diámetros).

También podría interesarle la novela de ciencia ficción dura "Incandescencia", en la que una especie de seres que viven en el interior de un gran asteroide que orbita alrededor de un agujero negro observan los efectos de marea para descubrir la relatividad general sin haber visto nunca el mundo exterior. Es una interesante demostración de cómo son los efectos gravitatorios de orden superior más allá de la aproximación al centro de masa.

El autor, Greg Egan, tiene una página web en la que explica los efectos de las mareas descritos en su novela aquí .

Answer 2

De la misma manera que los cuerpos que están lejos de ti pueden aproximarse como masas puntuales, las distribuciones de carga que están suficientemente lejos pueden aproximarse como cargas puntuales, con carga total $Q$ y entonces, de hecho, calcularías algo como el centro de carga.

Se trata de la primera parte de la llamada expansión multipolar: Se comienza aproximando una distribución de carga $\varrho(x)$ por una carga puntual de carga $Q = \int dx \varrho(x)$ . El siguiente paso sería observar el momento dipolar, $p = \int dx x\varrho(x)$ seguido del momento cuadrupolar, etc.

Answer 3

Normalmente no hablamos del centro de carga de las distribuciones porque la mayoría de las distribuciones de carga útiles son neutras, con carga total $Q=0$ por lo que ni siquiera tiene sentido definir $$ \mathbf r_\mathrm{cc}=\frac1Q \int \mathbf r\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r. $$ Esto significa que los sistemas cargados y neutros se comportan de manera muy diferente en este sentido.

• Para los sistemas neutros, la cantidad equivalente de interés es el momento dipolar eléctrico, $$\mathbf d=\int \mathbf r\rho(\mathbf r)\mathrm d\mathbf r,$$ que tiene la propiedad de que el término principal en el potencial electrostático en los puntos $\mathbf r$ lejos de la distribución de carga viene dada por $$\varphi(r) = \frac{\mathbf d\cdot\mathbf r}{r^3} + O(1/r^3).$$ Frente al centro de carga do hablar de momentos dipolares eléctricos, todo el tiempo.

• Para un sistema cargado, el momento dipolar sigue desempeñando un papel, pero es secundario: lejos de la distribución, el potencial electrostático puede describirse mejor de la forma $$\varphi(r) = \frac{Q}{r}+\frac{\mathbf d\cdot\mathbf r}{r^3} + \frac{p_2(x,y,z)}{r^5} + O(1/r^4), \tag{$ * $}$$ donde $p_2$ es un polinomio homogéneo de grado 2; estos son los tres primeros términos de la expansión multipolar de ese potencial. Como puedes ver, el momento dipolar queda relegado al término secundario, mientras que el término principal viene dado por la carga.

  Además, para los sistemas cargados, el momento dipolar se vuelve menos útil como cantidad, porque pasa a depender de la posición del origen; así, si desplazas tu sistema de coordenadas en $\mathbf r_0$ el momento dipolar cambia como $\mathbf d\mapsto \mathbf d-Q\mathbf r_0$ . Esto significa, por tanto, que el centro de carga tiene la propiedad muy específica de que

  el centro de carga de una distribución de carga con carga total distinta de cero es la posición en la que el momento dipolar eléctrico de la distribución desaparece.

  En términos de expansión multipolar $(*)$ esto es importante, porque el término sublevante (que va como $\sim 1/r^2$ ) desaparece, por lo que se obtiene una contribución monopolar (que se expresa como $\sim 1/r$ ) corregido por un término cuadrupolar que va como $\sim 1/r^3$ un orden de magnitud que la corrección dipolar.

Answer 4

Las cargas de la interacción electrostática determinan la fuerza de interacción. En este sentido, son similares a las masas que determinan la fuerza gravitatoria.

Sin embargo, cuando observamos la dinámica de las partículas, es la masa de la partícula la que determina la inercia de la partícula, sea cual sea la naturaleza de la fuerza. En este sentido, las masas son diferentes de las cargas. Según las ecuaciones de Newton, el centro de masa tiene sentido como posición de una cuasi partícula (el sistema en su conjunto).

En su lugar, se puede describir la distribución de la carga y, a menudo, se describe como factores de forma de la carga del sistema.

Answer 5

Los comentarios a la pregunta que intenta responder se archivan en este post.

Hay una sencilla razón por la que hablamos de centros de masa y nunca de centros de carga. La analogía tendría sentido si el centro de masa fuera el lugar donde actúa la fuerza gravitatoria, que actúa sobre las masas. La fuerza gravitatoria viene dada por $Gm_1m_2/r^2$ y de forma similar, la electrostática podría ser $Q_1Q_2/4\pi\epsilon r^2$ . Sin embargo, no es por eso por lo que utilizamos el centro de masa. Usamos el centro de masa para simplificar el lado derecho de $F=ma$ - cuando calculamos la aceleración $a$ - y aparece en la combinación $ma$ incluso para las fuerzas eléctricas.

Luboš Motl 7 abr '11 a las 20:42

Así que siempre podemos imaginar que las fuerzas -incluidas las gravitatorias, las electrostáticas, las magnéticas y otras- actúan "en el centro de masa". La masa es especial porque es la que determina la inercia de los objetos. ... También se puede calcular el lugar medio de un cambio, por ejemplo $\int \rho\, \vec r\, dV / \int \rho \, dV$ . Sin embargo, esta cantidad no entrará en ninguna ecuación importante ni en sus simplificaciones y, además, puede estar mal definida porque el denominador, la carga total, puede desaparecer. El denominador de la masa, la masa total, es siempre positivo para los objetos.

Luboš Motl 7 abr '11 a las 20:44

"Al determinar la atracción gravitatoria entre 2 cuerpos sólidos, podemos simplificar los cálculos considerando que sus masas se concentran en sus respectivos centros de masa". Esto es erróneo. Esto sólo funciona para una esfera. Para un objeto no esférico, no se obtiene la respuesta correcta de esta manera. Además, el centro de masa no es en general lo mismo que el centro de gravedad (en los casos en que el campo no es uniforme).

user4552 Ago 19 '11 en 2:54

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