La siguiente pregunta es la parte a) del ejercicio 29 del capítulo Distribuciones del Análisis Real de Folland.
Sea $S'$ denotan el espacio de distribuciones atemperadas en $\mathbb{R}^n$ . Es decir, $S'$ es el espacio de distribuciones que actúan sobre el espacio de funciones de Schwartz $S$ .
Pour $1 \leq p < \infty$ , dejemos que $C_p$ sea el conjunto de todos los $F \in S'$ para el que existe $C \geq 0$ tal que $||F \ast \phi||_p \leq C||\phi||_p$ para todos $\phi \in S$ de modo que el mapa $\phi \mapsto F \ast \phi $ se extiende a un operador acotado en $L^p$
a) Demuestre que $C_1 = M(\mathbb{R}^n)$ donde $M(\mathbb{R}^n)$ es el espacio de medidas complejas de Radon sobre $\mathbb{R}^n$ .
Folland proporciona una pista que dice: "Si $F \in C_1$ considera $F \ast \phi_t$ donde $\{\phi_t\}$ es una identidad aproximada, y aplicar el teorema de Alaoglu".
Así que no sé por dónde empezar. Parece como si el teorema de Riesz representación debe ser utilizado, pero no estoy completamente seguro.
Apelando a la indirecta, me he dado cuenta de que si dejamos que $F_t = F \ast \phi_t$ entonces tenemos que $F_t \longrightarrow F$ en $S'$ :
$$ \langle F_t, \psi \rangle = \langle F \ast \phi_t, \psi \rangle = \langle F, \widetilde{\phi_t} \ast \psi \rangle \longrightarrow \langle F, \psi \rangle \text{ as } t \longrightarrow 0 $$
Donde la convergencia se sigue por propiedades de aproximaciones a la identidad.
Si alguien pudiera dar un paso en la dirección correcta, sería de gran ayuda. No veo cómo se aplica el teorema de Alaoglu.
