de Rham cohomology y plana vector de paquetes

Question

Me preguntaba si hay alguna noción de "vector paquete de de Rham cohomology". Para ser más precisos: la k-ésima de Rham cohomology grupo de un colector de $H_{dR}^{k}(M)$ se define como el conjunto de formas cerradas en $\Omega^k(M)$ modulo el conjunto de las formas exactas. El coboundary operador está dado por el exterior de derivados.

Vamos ahora $E \rightarrow M$ ser un vector paquete con conexión a $\nabla^E$ sobre $M$, y considerar la $E$valores $k$-formas en $M$: $\Omega^k(M,E)=\Gamma(\Lambda^k TM^\ast \otimes E)$.
Si $E$ es un plano vector paquete, tenemos un coboundary operador $d^{\nabla^E}$ (desde $d^{\nabla^E} = R^{\nabla^E}=0$, con $R^{\nabla^E}$, siendo la curvatura) y podemos definir

$$H_{dR}^{k}(M,E) := \frac{ker \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^k(M,E)}}{im \quad d^{\nabla^E}|_{\Omega^{k-1}(M,E)}}$$

Así que mi pregunta es: ¿Es esto de alguna manera útil? Me refiero a que se pueden usar esta definición para hacer algunas declaraciones sobre $M$ o $E$ o lo que sea? O es la restricción de $E$ a ser un plano vector paquete perturbador? O es completamente inútil?

Answer 1

Como se puede ver en la rápida y variada de respuesta es de 5 respuestas en 40 minutos de algún tipo de registro?!) la construcción es muy útil y tiene muchas aplicaciones.

Uno de los temas más para agregar a la lista, lo cual concuerda muy bien con David Speyer respuesta, es el vínculo entre los llamados campos de Higgs y tv de paquetes de más de Kahler colectores. Esta teoría, originalmente debido a Hitchin en 1987, ahora está muy de moda debido a la función que desempeña en la geométrica Langlands. Una buena introductorio de referencia está aquí. Me voy a dar un muy breve resumen, pero en el artículo se hace un trabajo mucho mejor.

Dado un holomorphic vector paquete de E más de un complejo colector, un "campo de Higgs" es un holomorphic 1-forma a con valores en la Final(E) que también satisface $A\wedge a =0$ (el producto combina la cuña del producto en las formas y la Mentira soporte en endomorphisms). Esto significa que si añadimos a la d-bar operador de paquete valorado las formas que tenemos algo con plaza de cero, dando una versión retorcida de la Dolbeault complejo David Speyer menciona en su respuesta.

Mientras tanto, podemos construir un paquete de Higgs, comenzando con una plana SL(n,C)-paquete. La elección de un Hermitian métrica en el paquete podemos dividir el plano de conexión en dos partes, una unitario otro de los giros de Hermitian. Cuando la medida satisface un PDE, llamados "armónicos", el (0,1)-componente de la central unitaria de conexión le da un holomorphic estructura en el paquete y el (1,0)-componente de la inclinación-Hermitian parte da un campo de Higgs. Un teorema de Donaldson y Corlette nos dice que podemos hacer esto en la medida de la plana de paquete es irreducible (es decir, el correspondiente representante de grupo fundamental es irreductible). Por otra parte, esta construcción se da una correspondencia 1-1 entre estables de Higgs paquetes y irreductible plana SL(n,C) bultos.

Dado un paquete de Higgs derivadas de esta manera, ahora tenemos dos diferentes cohomology grupos: el trenzado Dolbeault grupos de d-bar, además de Una y el acoplado deRham grupos de la plana de conexión. Hodge teoría nos dice que, de hecho, estos grupos son iguales. Este es el punto de partida para un tema llamado "no-abelian Hodge teoría". Se da, entre otras cosas, en lo profundo de las restricciones fundamentales de los grupos de Kahler colectores.

Answer 2

Advertencia: El primer párrafo de la siguiente está fuera de mis conocimientos.

Me dicen que esta construcción es muy útil en el PDE. Si usted tiene un PDE en algunos colector $M$, usted puede a menudo formular el espacio vectorial de soluciones como el núcleo de planos de conexión en un vector paquete. En particular, creo que la analítica lado de la de Atiyah-Singer índice teorema es la característica de Euler de la deRham la teoría de que usted ha descrito.

Te puedo decir que el análogo de la construcción es muy importante en el complejo de la geometría algebraica. Dado un holomorphic vector paquete en un complejo colector de, no es una forma natural para definir un $d$-barra de conexión. (Esto significa que $\nabla_X$ sólo se define cuando $X$ es un $(0,1)$ vector de campo.) El cohomology de la resultante de deRham-como complejo, que se llama la Doulbeaut complejo en esta configuración, es el mismo que el cohomology de la gavilla de holomorphic secciones del vector paquete. Ver los Pozos de' Análisis Diferencial en los Complejos Colectores o en las primeras partes de Voisin de la Teoría de Hodge y la Geometría Algebraica.

Answer 3

Un plano de conexión en un vector paquete de dimensión determina un sistema local de $\mathcal{G}$ sobre su base colector $M$ por el transporte paralelo, yo. e. un functor de la fundamental groupoid de $M$ a la categoría de abelian grupos (isomorfo a $\mathbb{R}^n$). Tenga en cuenta que, a pesar de todas las fibras son isomorfos a $\mathbb{R}^n$ no son canónicamente isomorfo. Para un sistema local uno puede asociar (en singular) cohomology de los grupos locales de los coeficientes. Hay dos formas básicas de hacerlo:

1) Hacer la misma construcción como de costumbre singular homología/cohomology, pero tomar como coeficientes de un simplex $f: \Delta^k\a M$ a valor en la fibra de $\mathcal{G}$ más de $f(baricentro)$. Mapas de los límites son definidos a través de la elección de una ruta de acceso desde el baricentro de $\Delta^n$ a el baricentro de un rostro.

2) Para la conexión de un $M$, un sistema local es esencialmente equivalente a una representación de la $\pi_1(M)$ en $\mathbb{R}^n$. En el singular de las cadenas de la cobertura universal de $\widetilde{M}$, también hay un $\pi_1(M)$ la acción a través de la cubierta de transformaciones. Ahora puedes tensor de la singular complejo de cadena de $\widetilde{M}$ $\mathbb{R}^n$ sobre el anillo de grupo de $\mathbb{R}[\pi_1(M)]$ y, a continuación, tomar la homología/cohomology.

Supongo que, a estas cohomology de los grupos locales de los coeficientes debe ser isomorfo a su "vector paquete de deRham cohomology", aunque sé que no hay referencia en el momento.

Homología/cohomology grupos locales coeficientes son buenas para muchas cosas en general. He visto sobre todo en la Serre espectral de la secuencia (computación en la homología/cohomology grupos de haces de fibras) donde $E^2$-término por lo general se escriben en términos de ellos. Otra aplicación es la dualidad de Poincaré para los no-orientable colectores.

Answer 4

Una manera de ver esto, que la pone en un contexto amplio, es este:

el llamado complejo de $H_{dR}(M,E)$ en la pregunta (tal vez mejor $H_{dR}(E,\nabla)$) es el "Chevalley-Eilenberg" complejo de la acción-Mentira algebroid dado por la acción de la tangente Mentira algebroid en la (fiberwise) el vector dual paquete de $E^*$ inducida $\nabla$.

Más generalmente, se puede permitir que las representaciones de los complejos de vector de paquetes, en cuyo caso estamos hablando de oo-Mentira algebroid representaciones Algunas observaciones sobre el fondo conceptual de tales acciones de oo-Mentira algebroids es Mentira oo-algebroid representación.

Esto es algo que sigue siendo reinventado. Un resultado impactante en la estructura de la dirección general de la categoría de tales oo-Mentira algebroid de representaciones es en este artículo de Jonathan Bloque. Más recientemente Marius Crainic es el estudio de estas estructuras bajo el nombre de Representaciones hasta homotopy de Mentira algebroids.

Como se la quiera llamar, no es siempre el débil cociente de la oo-Mentira algebroid usted está actuando por tat usted está actuando con, al igual que con la Mentira oo-groupoids aka oo-pilas. El Chevalley-Eilenberg álgebra de que la debilidad de un cociente es el tipo de complejo que la cuestión que aquí se trata.

Answer 5

Esto es muy útil. El requisito de que la conexión es plana es fundamental. Es equivalente al hecho de que el complejo de de Rham de hecho es un complejo. También es equivalente al hecho de que el anillo de $D_M$ de los operadores diferenciales en $M$ actúa en $E$. Esto nos lleva a la teoría de D-módulos y la algebro-geométrico estudio de las ecuaciones diferenciales.