Mostrar una propiedad de un axioma de espacio vectorial equivalente a otra propiedad

Question

Intentará demostrar que el axioma de la inversa aditiva es equivalente a decir $0v = 0$ para todos $v \in V.$

Dado $v+ w = 0$ para todos $v$ y algunos $w \in V$ tenemos $w = -v$ y $v+ w = -v + v = -1v + 1v = (-1 + 1)v = 0v = 0$ .

En la otra dirección, $0 = v – v = 0v$ . Sea $w = -v$ . Entonces $0 = 0v = w + v$ .

Comprobando si funciona.

Answer 1

$v+ (-v) = 0 \iff v\cdot 1 + v \cdot (-1) =0 ^ * \iff v(1+(-1)) = 0 \iff v\cdot 0 = 0$

$^*$ Demuéstralo por separado.

Answer 2

Al demostrar que $0v=0$ has asumido $-1v=-v$ . Esto no es un axioma y es necesario demostrarlo antes de utilizar este hecho (correcto).

Aquí hay una prueba usando sólo los axiomas:

Sea $V$ sea un espacio vectorial y $v \in V$ . Tenemos $0v+0v=(0+0)v=0v$ (utilizando el axioma de que $(s+t)v=sv+tv$ para vectores $v$ y escalares $s,t$ ). Pero $0v$ es un elemento de $V$ por lo que debe tener una inversa (aditiva): $-(0v)$ . Añade esto a nuestra ecuación anterior: $(0v+0v)+(-0v)=0v+(-0v)$ . Uso de la asociatividad , $0v+(0v+(-(0v)))=0$ y así $0v+0=0$ y así $0v=0$ (aquí hemos utilizado el axioma que dice $0$ es una identidad aditiva varias veces).

Ahora, en la otra dirección, tu prueba vuelve a tener el problema de suponer demasiado. Usted ha asumido que $-v$ ¡existe mientras se demuestra que existe!

En su lugar, suponga que $0v=0$ . Entonces $v+(-1v) = 1v+(-1v)=(1-1)v=0v=0$ . Aquí he utilizado los axiomas: $1v=v$ , $(r+s)v=rv+sv$ y nuestra suposición de que $0v=0$ .

Lo mismo digo, $(-1v)+v=(-1v)+1v=(-1+1)v=0v=0$ . Por lo tanto, $w+v=v+w=0$ cuando $w=-1v$ . Esto demuestra que $v$ tiene un inverso aditivo, a saber $-1v$ . Si además demostramos que cuando existe un inverso aditivo es único (es decir, sólo puede haber uno), entonces tendríamos $-1v=-v$ . :)