mapa de variedades que induce iso en la cohomología superior, pero no es suryectivo en otro grupo de cohomología

Question

Dado un mapa entre dos variedades que induce un isomorfismo sobre la cohomología integral en la dimensión superior, se deduce de la naturalidad del producto copa y de la dualidad de Poincaré y del teorema del coeficiente universal que todos los mapas sobre la cohomología en cada dimensión son inyectivos con cokernel libre de torsión.

¿Hay algún ejemplo en el que uno de estos mapas no sea suryectivo?

Answer 1

Para cualquier colector orientable M de dimensión n, el mapa M a $S^n$ enviando alguna vecindad adecuada de un punto homeomórficamente a $\mathbb{R}^n$ y el resto a $\infty$ .

Answer 2

Creo que tengo una: considere un toroide en $\mathbb{R}^{3}$ incrustado como una superficie de rotación, por ejemplo, girar un círculo de radio $1$ en el plano zy con centro $(0,2,0)$ alrededor del $z$ eje. Ahora pon una pequeña esfera con centro $(0,2,0)$ y radio $\epsilon$ . A continuación, el mapa $T \rightarrow S^{2}$ dada por la proyección hacia el centro de la esfera debería dar un isomorfismo en $H^{2}$ (ya que el grado es 1) pero obviamente no es suryectiva en $H^{1}$