Me pregunto si existe una función $f\colon \Bbb R\to \Bbb R$ tal que $f(x)>0$ para todos $x$ y $\min\{f(x),f(y)\}<|x-y|$ si $x\neq y$ .
Respuesta
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Demostraremos que tal función no existe por contradicción.
Supongamos que sí.
Fijar $x$ para cualquier $y \in B_{f(x)} (x) $ (distinto de x), obtenemos que $\min\{f(x), f(y) \} < |x-y| < f(x)$ Por lo tanto $f(y) < f(x)$ . Esta es la propiedad importante que vamos a utilizar.
Ahora, define una serie de puntos recursivamente.
Comience con cualquier $x_0 = x$ .
Sea $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)} {2}.$
Sea $x_2 = x_1 + \frac{ f(x_1)} { 2^2}$ .
En general, $x_{n+1} = x_n + (-1)^n \frac{f(x_n)} { 2^n} $ .
Pista: Sea $x^*$ sea el punto de acumulación de $x_n$ . ¿Por qué existe esto? Demuestra que $x^* \neq x_n$ para todos $n$ . Demuestre también que $x^* \in B_{f(x_n)} (x_n) $ para todos $n$ .
Pista: Considere $x^*$ . Demuestre que existe un $x_N \in B_{f(x^*)}(x^*)$ . Por lo tanto, concluimos que $f(x^*) < f( x_N)$ y $f(x_N) < f(x^*)$ que es una contradicción.
