Las representaciones inducidas de $SL(2, F)$ .

Question

Sea $G=SL(2,F)$ y $I=J_{0}\cap J_{1}$ sea el subgrupo Iwahori de $SL(2, F)$ donde $J_{0}=\left( \begin{array}{cc} \mathcal{O}_{\mathbb{F}} & \mathcal{O}_{\mathbb{F}} \\ \mathcal{O}_{\mathbb{F}} & \mathcal{O}_{\mathbb{F}} \\ \end{array} \right)\cap SL(2)$ y $J_{1}=\left( \begin{array}{cc} \mathcal{O}_{\mathbb{F}}& \varpi_{\mathbb{F}}^{-1}\mathcal{O}_{\mathbb{F}} \\ \varpi_{\mathbb{F}} \mathcal{O}_{\mathbb{F}}& \mathcal{O}_{\mathbb{F}} \\ \end{array} \right)\cap SL(2)$ son los subgrupos compactos máximos de $SL(2, F)$ . Aquí $F$ es un local no arquimediano $p$ -campo ácido, $\mathcal{O}_{F}$ es el anillo de valoración y $\varpi$ es el uniformizador.

Ahora bien, sabemos que si $\lambda^{2}= 1$ entonces $Ind_{I}^{G}\lambda=\lambda^{-}\oplus\lambda^{+}$ . También podemos escribir $Ind_{I}^{G}\lambda=Ind_{J_{0}}^{G}(Ind_{I}^{J_{0}}\lambda)$ .

¿Se cumple la siguiente igualdad?

$Ind_{I}^{G}\lambda=Ind_{J_{0}}^{G}\lambda\oplus Ind_{J_{1}}^{G}\lambda$ .

Pido disculpas por mi mal inglés y mi mal genio para crear una pregunta.

Answer 1

Supongo que $\lambda$ ¿¡es un personaje!? ¿Cómo es su $\lambda$ una representación de $J_0$ o $J_1$ ¿te refieres a la inducción $Ind_I^{J_k} \lambda$ pero la inducción nunca es irreducible.

Sobre algunos asuntos relacionados en $GL(2)$ :

La cuestión de si $ Ind_{I}^{J_i} \lambda $ ha sido contestada por Silberger para $PGL(2)$ para $J_0$ y $J_1$ en la característica de residuo impar, y por Casselman para $PGL(2)$ para $J_0$ en todas las características de los residuos.

Silberger, Allan J. Representaciones irreducibles de un subgrupo compacto maximal de ${\rm pgl}_{2}$ pgl2 sobre el $p$ p-adics. Math. Ann. 229 (1977), nº 1, 1-12.

Silberger, Allan J. ${\rm PGL}_{2}$ PGL2 sobre el $p$ p-adics: sus representaciones, funciones esféricas y análisis de Fourier. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 166

Casselman, William La restricción de una representación de ${\rm GL}_{2}(k)$ GL2(k) a ${\rm GL}_{2}({\germ o})$ GL2(o). Math. Ann. 206 (1973), 311-318.

En estos casos, la fórmula de inducción de la restricción $Res_{SL(2,F)} Ind^{GL(2,F)}_{J_i} \lambda =Ind_{J_i}^{SL(2,F)} \lambda$ ¡! La inducción por pasos implica los resultados, si se $ Ind_{I}^{J_i} \lambda $ escisiones.

No estoy seguro de que sea necesario, pero puedes mirar la fórmula de restricción por inducción para $Res_{J_i} Ind^{SL(2,F)}_{J_i} \lambda$ y ver qué pasa.