Dado un punto $P$ fuera del equilátero $\Delta ABC$ pero por dentro $\angle ABC$ si la distancia entre $P$ a $BC,CA,AB$ son $h_1,h_2,h_3$ respectivamente.

Question

Dado un punto $P$ fuera del equilátero $\Delta ABC$ pero por dentro $\angle ABC$ si la distancia entre $P$ a $BC,CA,AB$ son $h_1,h_2,h_3$ respectivamente, donde $h_1 - h_2 + h_3 = 6$ encuentra $[\Delta ABC]$ .

Lo que probé : Al principio no podía entender si $h_1,h_2,h_3$ son líneas cualquiera que tocan los lados o son algunas líneas específicas como altitudes o medianas (bisecan los lados del triángulo) . Pero como se denotan como $h_1,h_2,h_3$ Supongo que son las altitudes. Así que aquí está una foto :-

Ni idea para este problema. No creo que pueda utilizar ninguna técnica de geometría simple como la búsqueda de ángulos, el área de triángulos, el teorema de Pitágoras, etc., porque me han dado muy poca información. Así que estoy un poco atascado aquí.

¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

Punto de conexión $P$ a $A, B, C$ . Ahora puede ver que $\triangle ABC = \triangle PAB + \triangle PBC - \triangle PAC = \frac{AB}{2}(h_1 - h_2 + h_3) = 3 AB$

Dado un triángulo equilátero, también sabemos que $\triangle ABC = \frac{\sqrt3}{4}AB^2 = 3 AB$

Eso te da el valor de $AB = 4 \sqrt3$ y $\triangle ABC = 12 \sqrt3$

Answer 2

Considera las áreas de los triángulos $APB, BPC, CPA$ .

Tenemos la ecuación

\begin{align} [\triangle ABC] &= [\triangle APB] - [\triangle CPA] + [\triangle BPC]\\ &=\frac12(ABh_3 - AC h_2 + BC h_1)\\ &=\frac{AB}2(h_1-h_2+h_3)\\ &=3AB \end{align}

También tenemos la relación entre el lado de un triángulo equilátero y su área:

$$[\triangle ABC] = \frac{\sqrt 3}4AB^2$$

Resuelva ahora $AB$ y $[\triangle ABC]$ .

Answer 3

Por Teorema de Viviani la altura de $\triangle ABC$ est $6$ por lo que su longitud lateral es $\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ y su área es $\frac{6×4\sqrt3}2=12\sqrt3$ .

Answer 4

WLOG dejar $y=0,y=\sqrt{3}x,y=-\sqrt{3}(x-a)$ sea el eq del triángulo de los lados con el lado del equilátero que es $a$ .

así $$h_1+h_3-h_2=1$$ $$|k+\frac{\sqrt{3}h-k}{2}-\frac{\sqrt{3}h+k +\sqrt{3}a}{2}|=1$$

$$\sqrt{3}a/2=1$$ $$a=?$$ $$area(\Delta)={\sqrt{3}a^2}/4=?$$