Demostración con coeficientes consecutivos

Question

Si $a_1,a_2,a_3,a_4$ son cuatro coeficientes consecutivos en la expansión de $(1+x)^n$ demuestre que $$\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}+\frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}=\frac{2a_{2}}{a_{2}+a_{3}}$$

Mi solución:

Sea $a_1 x^{r-1},a_2 x^{r},a_3 x^{r+1},a_4 x^{r+2} = {n\choose{r-1}} x^{r-1},{n\choose{r}} x^{r},{n\choose{r+1}} x^{r+1},{n\choose{r+2}} x^{r+2}$ .

Lo meto en la prueba requerida y tengo que hacer un laborioso y largo proceso de álgebra.

Por mi experiencia, alguien en MSE tendrá una prueba mucho más concisa que esta, así que pregunto para ilustrarme.

Answer 1

Pistas:

Escribe los términos de la igualdad que hay que demostrar de la siguiente manera:

$$\frac{a_k}{a_k+a_{k+1}}=\frac1{1+\cfrac{a_{k+1}}{a_k}}$$

Evalúe ahora cada término por separado. Por ejemplo:

$$\frac{a_4}{a_3}=\frac{\binom n{r+2}}{\binom n{r+1}}=\frac{n!(r+1)! (n-r-1)!}{n!(r+2)!(n-r-2)!}=\frac{n-r-1}{r+2}\implies1+\frac{a_4}{a_3}=\frac{n+1}{r+2}\implies$$

$$ \frac1{1+\frac{a_4}{a_3}}=\frac{r+2}{n+1}$$

Después de hacer esto con el lado izquierdo (y tienen el mismo denominador), haz lo mismo con el lado derecho... y se deduce de inmediato que son iguales

Answer 2

Como Forester insinuó, como usted está interesado en el coeficiente, debe dejar el $x$ monomios.

Todo lo que se necesita aquí son operaciones básicas con coeficientes binomiales: $$ \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k} $$

En su caso, usted eligió: $$ a_i = \binom{n}{r+i-2} $$

Entonces: $a_i + a_{i+1} = \binom{n+1}{r+i-1}$ y $\frac{a_i}{a_i + a_{i+1}} = \frac{r+i-1}{n+1}$ .

Comprobar que la ecuación que buscas se cumple es bastante sencillo: $$ \frac{a_1}{a_1 + a_2} + \frac{a_3}{a_3 + a_4} = \frac{2r+2}{n+1} = 2\frac{a_2}{a_2 + a_3} $$

Answer 3

$$\frac{a_1}{a_1+a_2}=\frac{\binom{n}{r-1}}{\binom{n+1}{r}}=\frac{n!(n-r+1)!r!}{(r-1)!(n-r+1)!(n+1)!}=\frac{r}{n+1}$$

Del mismo modo, $$\frac{a_3}{a_3+a_4}=\frac{r+2}{n+1}$$

Entonces, sumando da:

$$\frac{2(r+1)}{n+1}$$

que es igual a $$\frac{2a_2}{a_2+a_3}$$

Answer 4

Se trata de otra variación en la que nos ceñimos a los coeficientes binomiales evitando los factoriales. Recordamos dos identidades binomiales: \begin{align*} \binom{n+1}{r} &= \binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}\tag{1}\\ \binom{n+1}{r}&=\binom{n}{r-1}\frac{n+1}{r}\tag{2} \end{align*}

Lado izquierdo: \begin{align*} \color{blue}{\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}+\frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}} &=\frac{\binom{n}{r-1}}{\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}}+\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r+1} + \binom{n}{r+2}}\\ &=\frac{\binom{n}{r-1}}{\binom{n+1}{r}}+\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n+1}{r+2}}\tag{$\to (1)$}\\ &=\frac{\binom{n}{r-1}}{\binom{n}{r-1}\frac{n+1}{r}}+\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r+1}\frac{n+1}{r+2}}\tag{$\to (2)$}\\ &=\frac{r}{n+1}+\frac{r+2}{n+1}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{2(r+1)}{n+1}} \end{align*} Lado derecho: \begin{align*} \color{blue}{\frac{2a_{2}}{a_{2}+a_{3}}}&=\frac{2\binom{n}{r}}{\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}} =\frac{2\binom{n}{r}}{\binom{n+1}{r+1}}\tag{$\to (1)$}\\ &=\frac{2\binom{n}{r}}{\binom{n}{r}\frac{n+1}{r+1}}\tag{$\to (2)$}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{2(r+1)}{n+1}} \end{align*} y se cumple la afirmación.