Una posible generalización de los grupos de homotopía.

Question

Los grupos de homotopía $\pi_{n}(X)$ surgen de considerar clases de equivalencia de mapas basados de la $n$ -esfera $S^{n}$ al espacio $X$ . Como es bien sabido, estos mapas pueden componerse, dando lugar a una operación de grupo. El grupo resultante contiene una gran cantidad de información sobre el espacio dado. Mi pregunta es: ¿hay alguna información extra sobre un espacio que se pueda descubrir considerando clases de equivalencia de mapas basados del $n$ -tori $T^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ . En el caso de $T^{2}$ parece que como cualquier camino $S^{1}\to X$ puede "engrosarse" para crear una ruta $T^{2}\to X$ si $X$ es tridimensional, el grupo que surge de las trayectorias basadas $T^{2}\to X$ contendría $\pi_{1}(X)$ . Quizás de forma más general, ¿puede obtenerse información útil examinando clases de equivalencia de mapas basados de algún espacio arbitrario $Y$ a un espacio determinado $X$ .

Answer 1

Siempre hay información que obtener. Pero en este caso:

• Clases de homotopía basadas en mapas $T^2\to X$ ¡no formes un grupo! Para definir una función natural $\mu\colon [T,X]_*\times [T,X]_*\to [T,X]_*$ necesita un mapa $c\colon T\to T\vee T$ (donde $\vee$ es la unión de un punto). Y si quieres $\mu$ sea unital, asociativo, etc., querrá $c$ ser counital, coassociativo, etc. Para $T=T^n$ con $n\geq2$ no hay $c$ que es counital. (La forma habitual de ver esto es pensar en la cohomología $H^*T$ con su estructura copa-producto).

• La inclusión $S^1\vee S^1\to T^2$ da un mapa $$r\colon [T^2,X]_* \to [S^1\vee S^1,X]_*\approx \pi_1X\times \pi_1X.$$ En imagen de este mapa serán pares $(a,b)$ de elementos en $\pi_1X$ que conmutan: $ab=ba$ . Por lo general no será inyectiva; por lo que podría haber algo interesante que pensar acerca de la en preimágenes $r^{-1}(a,b)$ .

Answer 2

En la década de 1940, Ralph Fox definió algo llamado la grupo de homotopía del toro . Para un espacio basado $(Y,y_0)$ y número natural $r$ El $r$ -grupo de homotopía toroidal dimensional $\tau_r(Y,y_0)$ no es más que el grupo fundamental del espacio cartográfico ${\rm map}(T^{r-1},Y)$ basado en el mapa constante (donde $T^{r-1}$ es, por supuesto, un toroide).

El grupo $\tau_r(Y,y_0)$ contiene copias isomorfas de $\pi_n(Y,y_0)$ para todos $n\leq r$ . Además, los productos de Whitehead se convierten en conmutadores en el grupo de homotopía del toro. Pasando al límite sobre $r$ se obtiene el grupo de homotopía de toro (infinito) $\tau(Y, y_0)$ que contiene toda la información homotópica de $Y$ ¡en un solo lugar!

Por desgracia para Fox, la idea no parece haber cuajado (aunque he oído que tuvo otras que sí lo hicieron). En MathSciNet sólo aparecen 11 artículos que contienen la frase "torus homotopy groups" (aunque el más reciente es de 2007).

Answer 3

Su problema es que $T^n$ no es en general un co- Espacio Moore . Por lo tanto Dualidad Eckmann-Hilton se rompe, ya que los espacios duales ya no forman un espectro y no habría ninguna teoría (co)homológica dual a dicha "teoría homotópica". Por lo tanto, una teoría de clases de homotopía de mapas puntiformes de $T^n$ a $X$ sería mucho menos interesante que una teoría de clases de homotopía de mapas puntiformes de $S^n$ a $X$ .

Por otra parte, el estudio de las clases de homotopía de mapas puntiformes de un espacio de Co-Moore distinto de $S^n$ a $X$ conduce a útiles teorías de homotopía con coeficientes. Creo que éstas clasifican $X$ hasta equivalencia homotópica.

Answer 4

Brian Griffiths me dijo que Fox esperaba obtener una generalización del teorema de van Kampen y así continuar el trabajo de J.H.C Whitehead sobre añadir relaciones a los grupos de homotopía (véase su artículo de 1941 con ese título).

Sin embargo, si uno se libera de la fijación del punto de base, podría considerar el gato de Loday $^n$ -grupo de una base $(n+1)$ -ad, $X_*=(X;X_1, \ldots, X_n)$ dejar $\Phi X_*$ sea el espacio de mapas $I^n \to X$ que toman las caras de los $n$ -cubo $I^n$ en dirección $i$ en $X_i$ y los vértices al punto base. Entonces $\Phi$ tiene composiciones $+_i$ en dirección $i$ que forman un lax $n$ -fold groupoid. Sin embargo, el grupo $\Pi X_*= \pi_1(\Phi, x)$ donde $x$ es el mapa constante en el punto base $x$ hereda estas composiciones para convertirse en un gato $^n$ -es decir, un grupo estricto de $n$ -interno a la categoría de grupos (la prueba no es trivial).

Existe un Teorema de la Homotopía Superior de van Kampen para este functor $\Pi$ que permite algunos cálculos no abelianos nuevos en la teoría de homotopía (véase nuestro artículo en Topology 26 (1987) 311-334).

Así que un paso clave es pasar de espacios con punto base a ciertos espacios estructurados.

Comentario 16 de febrero de 2013: Los trabajadores en topología algebraica cerca del comienzo del siglo XX buscaban versiones de mayor dimensión del grupo fundamental, ya que sabían que el grupo fundamental no abeliano era útil en problemas de análisis y geometría. En 1932, Cech presentó un trabajo sobre los grupos de homotopía superiores al ICM de Zúrich, pero Alexandroff y Hopf demostraron rápidamente que los grupos eran abelianos para $n >1$ y por este motivo convenció a Cech para que retirara su artículo, de modo que en las Actas sólo apareció un pequeño párrafo. Se dice que Hurewicz asistió a la conferencia. Con el tiempo, la idea de versiones superiores del grupo fundamental pasó a considerarse un espejismo.

Una explicación de la naturaleza abeliana de los grupos homotópicos superiores es que los objetos de grupo en la categoría de grupos son grupos abelianos como resultado de la ley de intercambio, también llamada argumento de Eckmann-Hilton. Sin embargo objetos de grupo en la categoría de los grupoides son equivalentes a módulos cruzados y, por tanto, son en cierto sentido "más noabelianos" que los grupos. Los módulos cruzados fueron definidos por primera vez por J.H.C. Whitehead, 1946, en relación con los grupos de homotopía relativa segunda. Esto conduce a la posibilidad, ahora realizada, de "grupos de homotopía superior", Teoremas de Seifert-van Kampen de homotopía superior, y a las nociones de teoría de grupos de dimensión superior .

Ver esto presentación para más información.