$ \int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}b(x,y)\,f(x)\,f(y)dx\,dy \leq ||b_+||_{L^2(\mathbb R^d\times \mathbb R^d)}||f||_{L^2(\mathbb R^d)}^2 $

Question

Nos dan lo siguiente, $$ b:\mathbb R^d \times \mathbb R^d \rightarrow \mathbb R,\;\; f:\mathbb R^d\rightarrow \mathbb R $$ y $$ f\in L^2(\mathbb R^d)\; ,\;b\in L^2(\mathbb R^d\times \mathbb R^d) $$

Demuestra que

$$ \int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}b(x,y)\,f(x)\,f(y)dx\,dy\;\leq\;||b_+||_{L^2(\mathbb R^d\times \mathbb R^d)}||f||_{L^2(\mathbb R^d)}^2 $$

Aquí $b_+(x,y)= max \{b(x,y),0\}$ es decir, la parte positiva de la función $b$ .

Perdón por esta pregunta trivial, veo que no debería ser muy difícil preguntarla aquí. Pero no puedo hacerlo.

Answer 1

Desde $b = b_{+} - b_{-}$ y $b_{-}$ no es negativo, $b \le b_{+}$ . Por lo tanto

\begin{align}\int_{\Bbb R^d} \int_{\Bbb R^d} b(x,y)f(x)f(y)\, dx\, dy &\le \int_{\Bbb R^d} \int_{\Bbb R^d} b_{+}(x,y) |f(x)||f(y)|\, dx\, dy\\ & \le \|b_{+}\|_{L^2(\Bbb R^d\times \Bbb R^d)}\|f(x)f(y)\|_{L^2(\Bbb R^d\times \Bbb R^d)}\\ &= \|b_{+}\|_{L^2(\Bbb R^d \times \Bbb R^d)}\|f\|_{L^2(\Bbb R^d)}^2. \end{align}

Answer 2

Basta demostrar que si b es a.e.positiva, entonces la integral del lado izquierdo es no negativa. Esto es trivial ya que b es un núcleo positivo de un operador de Hilbert-Schimict, que mejora positivamente.