Dudas sobre el teorema trabajo-energía y la energía potencial gravitatoria negativa

Question

Se deja caer una pelota desde cierta altura. El trabajo realizado sobre la pelota por la fuerza gravitatoria es

$$W = F \cdot h = mgh$$

y la energía potencial gravitatoria es

$$U = -mg h$$

La diferencia de energía cinética es

$$\Delta K = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_2^2$$

donde $v_1 = 0$ desde que la bola empieza a caer desde el reposo. El cambio total de energía es

$$W_1 + U_1 + K_1 = W_2 + U_2 + K_2$$

donde $W_1 = 0$ , $U_1 = -mgh$ , $K_1 = 0$ , $W2 = mgh$ , $U_2 = 0$ y $K_2 = \frac{1}{2} m v_2^2$ . La suma es entonces

$$0 + (-mgh) + 0 = mgh + \frac{1}{2} m v_2^2$$

que es igual a

$$-2mgh = \frac{1}{2} m v_2^2$$

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Preguntas:

• ¿Qué estoy haciendo mal exactamente?
• ¿Usamos trabajo o energía potencial y no ambas? ¿Pero no son ambas energías?
• ¿Por qué hacer una distinción si se puede utilizar simplemente el trabajo realizado por la gravedad?
• ¿Por qué no calculamos el trabajo realizado por la gravedad como $W = F h = mgh$ ?
• Por qué utilizamos la diferencia de energía potencial: $U_2 - U_1 = 0 - (-mgh) = +mgh$ ?
• ¿Realiza la gravedad un trabajo sobre la partícula?

Answer 1

TL;DR Hay pocas cosas erróneas en cómo entiendes el teorema trabajo-energía:

• el trabajo $W$ no entra en el diagrama de energía desde ambos lados;
• si se incluye la energía potencial gravitatoria $U$ por separado en el diagrama energético, entonces no debe incluirlo de nuevo como trabajo $W$ ;

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Teorema trabajo-energía

En teorema trabajo-energía dice que el trabajo total realizado sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética

$$\Delta K = K_2 - K_1 = W \qquad \text{or} \qquad \boxed{K_1 + W = K_2}$$

donde $W$ es el trabajo total realizado sobre un objeto. Esto significa el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Tenga en cuenta que, por definición, el trabajo es un valor escalar que puede ser positivo o negativo.

Una cosa que la gente suele olvidar es que el trabajo realizado por las fuerzas gravitatoria y elástica (resorte) equivale a un cambio negativo en la energía potencial:

$$W_g = -\Delta U_g \qquad \text{and} \qquad W_e = -\Delta U_e$$

donde $U_g = mgy$ est energía potencial gravitatoria y $U_e = \frac{1}{2} k x^2$ est energía potencial elástica . Puesto que la diferencia $\Delta$ siempre significa valor final menos valor inicial el trabajo de las fuerzas gravitatorias y elásticas se define como

$$W_g = U_{g,1} - U_{g,2} \qquad \text{and} \qquad W_e = U_{e,1} - U_{e,2}$$

Si utilizamos esto en el teorema trabajo-energía obtenemos

$$\boxed{K_1 + U_{g,1} + U_{e,1} + W_\text{other} = K_2 + U_{g,2} + U_{e,2}}$$

donde $W_\text{other}$ es el trabajo realizado por fuerzas distintas de las gravitatorias y elásticas.

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Ejemplo: Una pelota que cae libremente

Como has identificado correctamente, el cambio en la energía cinética puede ser negativo, pero la energía cinética en sí no. En el ejemplo de dejar caer la pelota desde una altura $h$ el diagrama energético sería

$$\underbrace{\frac{1}{2} m 0^2}_{K_1} + \underbrace{mgh}_{U_{g,1}} = \underbrace{\frac{1}{2} m v_1^2}_{K_2} + \underbrace{mg0}_{U_{g,2}}$$

o en un caso general

$$\frac{1}{2} m v_1^2 + mgy_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + mgy_2$$

que podría ser más familiar en esta forma

$$\boxed{v_2^2 = v_1^2 - 2g(y_2 - y_1)}$$

Hay que tener cuidado con lo que se utiliza para $y_1$ y $y_2$ - El subíndice 1 indica el punto inicial y el 2 el punto final.

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El trabajo de la fuerza gravitatoria es igual a negativo $\Delta U_g$

En cuanto a por qué el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es un cambio negativo de la energía potencial, partimos de la definición de trabajo:

$$W = \vec{F} \cdot \vec{x} \qquad \text{or} \qquad W = \int \vec{F} \cdot d\vec{x}$$

donde tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, lo que significa que tienen magnitud y dirección. El trabajo se define como producto escalar de fuerza y desplazamiento lo que significa que sólo la parte de la fuerza paralela al desplazamiento realiza trabajo mientras que la parte perpendicular no realiza ningún trabajo. El producto escalar encuentra que parte del trabajo paralela al desplazamiento . Si la fuerza es constante y el desplazamiento es una línea recta, puede utilizar la ecuación (más sencilla) del lado izquierdo, pero en todos los demás casos debe utilizar la ecuación del lado derecho.

Sea positivo $\hat{\jmath}$ apuntan hacia arriba (lejos del centro de la Tierra), entonces la fuerza gravitatoria es

$$\vec{F}_g = -mg\hat{\jmath}$$

donde $\hat{\jmath}$ es sólo un vector unitario (magnitud igual a uno) que define la dirección de la fuerza. El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria $\vec{F}_g$ a cierta distancia $\Delta \vec{y}$ est

$$W_g = \vec{F}_g \cdot \Delta \vec{y} = -mg\hat{\jmath} \cdot (y_2 - y_1) \hat{\jmath} = -(mgy_2 - mgy_1) = -\Delta U_g$$

donde $\hat{\jmath} \cdot \hat{\jmath} = 1$ es un producto escalar entre dos vectores unitarios.

Answer 2

Ha cometido un error fundamental al escribir

La energía potencial es: $U = - mg h$

Lo que debería haber escrito es cambiar en energía potencial es: $\Delta U = U_{\rm final} -U_{\rm initial} = - mg h$ y si asumes $U_{\rm initial} = 0$ .

También ha contado dos veces en que en su ecuación $W_1 + U_1 + T_1 = W_2 + U_2 + T_2$ El $W_1$ y $W_2$ se refiere a un trabajo distinto del realizado por la fuerza gravitatoria, ya que el trabajo realizado por las fuerzas gravitatorias ya está contabilizado en el cambio de energía potencial.

$U_{\rm initial} + K_{\rm initial} = U_{\rm final} + K_{\rm final} \Rightarrow K_{\rm final} - K_{\rm initial} = U_{\rm initial}-U_{\rm final}$

$\Rightarrow \frac 12 m v_{\rm final}^2 - 0 = \frac 12 m v_{\rm final}^2 = -(-mgh) = mgh$