Existe una solución exacta de forma cerrada para el siguiente sumatorio $S$ propuesto en el PO:
$$\sum_{v=0}^t \binom{x-v} y \binom xv \binom{z-x}{t-v}$$
Como se muestra a continuación, esto viene dado por
$$S=\binom xy \binom {z-y}{t} $$
Para probar esta solución, podemos empezar escribiendo los binomios utilizando factoriales. Recogiendo los factores fijos (es decir, los términos que no contienen $v$ ) fuera la suma y simplificando tenemos
$$S= \frac{x!(z-x)!}{ y!} \sum_{v=1}^t \frac{1}{(t-v)!\,(x-y-v)!\,\, (z-x-t+v)!v!}\\$$
Reescribiendo los factores del denominador de otra manera, tenemos $$S= \frac{x!(z-x)!}{ y!} \sum _{v=1}^{t} \frac {(-t)_{v}}{t!} \,\frac{[-(x-y)]_{v}}{(x-y)!}\, \frac{1}{(z-x-t+1)_{v}(z-x-t)!}\, \frac{1}{v!}$$
donde $(k)_v$ indica el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente. Recogiendo los nuevos términos fijos en el sumatorio y observando que $(-t)_v/v!=(-1)^v \binom tv$ tenemos
$$S=\frac{x!(z-x)!}{t!\,y!\,(x-y)!(z-x-t)!} \\ \sum _{v=0}^{t} (-1)^v \binom tv \,\frac{(y-x)_{v}} {(z-x-t+1)_{v}}\\ =\binom xy \binom {z-x}{t}\\ \sum _{v=0}^{t} (-1)^v \binom tv \,\frac{(y-x)_{v}} {(z-x-t+1)_{v}}$$
La suma puede expresarse mediante una función hipergeométrica, recordando que esta función está definida por la serie de potencias
$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b,c;d)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {d^{n}}{n!}}}$$
y que cuando $a$ o $b$ es un entero no positivo se reduce a la suma finita
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(-a,b,c;z)=\sum _{n=0}^{a}(-1)^{n}{\binom {a}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}$$
Por lo tanto, establecer $a=t$ , $b=y-x$ , $c=z-x-t+1$ , $d=1$ y $n=v$ obtenemos
$$S=\binom xy \binom {z-x}{t} \\ 2F_1(-t,y-x,z-x-t+1;1)$$
que es equivalente a la expresión dada por WA en el enlace del OP, con la única diferencia de que aquí la suma parte de $v=0$ .
Ahora podemos utilizar la conocida identidad
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}$$
para obtener
$$S=\binom xy \binom {z-x}{t} \\ {\frac {\Gamma (z-x-t+1)\Gamma (z-y+1)}{\Gamma (z-x+1)\Gamma (z-y-t+1)}} $$
y luego
$$S=\binom xy \binom {z-x}{t} {\frac { (z-x-t)! (z-y)!}{ (z-x)!(z-y-t)!}} \\ =\binom xy \binom {z-y}{t} $$
Como ejemplo, pongamos $x=6$ , $y=2$ , $z=10$ y $t=3$ . La suma original da
$$\sum_{v=0}^3 \binom{6-v} 2 \binom 6v \binom{4}{3-v}=840$$
como muestra WA aquí . En consecuencia
$$\binom 62 \binom 83 =15\cdot 56=840$$
Como otro ejemplo con números más grandes, pongamos $x=15$ , $y=5$ , $z=24$ y $t=8$ . La suma original da
$$\sum_{v=0}^8 \binom{15-v} 5 \binom {15}v \binom{9}{8-v}=226972746$$
como muestra WA aquí . En consecuencia
$$\binom {15}5 \binom {19}{8} =3003\cdot 75582=226972746$$
