Interesante problema de congruencia de triángulos

Question

Mientras resolvía los ejercicios de mi libro me encontré con este interesante problema:

$\triangle ABC$ es un triángulo isósceles con $AB=AC$ . D es un punto de la base BC tal que $AD$ perpendicular en $BC$ . Para demostrar que $\angle BAD=\angle CAD$ un estudiante hace lo siguiente. Entre $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ ,

1. $AB=AC$ (dado)
2. $\angle B=\angle C$ (porque $AB=AC$ )
3. $\angle ADB=\angle ADC$ ( $=90^\circ$ ).

Por lo tanto $\triangle ABD\cong \triangle ACD$ . Así que.., $\angle BAD=\angle CAD$ . Ahora bien, ¿cuál es el defecto de estos argumentos?

Ahora bien, ¿cuál es el defecto de este argumento? Por favor, intenta resolverlo.

Answer 1

La prueba es correcta.

$\angle B = \angle C$ es muy vago. Debería haber escrito $\angle ABC = \angle ACB$ .

Pero podemos ver que $\angle ACD = \angle ACB = \angle ABC = \angle ABD$ .

Answer 2

He aquí un contraejemplo del argumento, que demuestra que el argumento no es válido en general:

1. $BC=BC$ (lado común)

2. $\angle ACB = \angle BCD$ (ángulo común)

3. $\angle ABC=\angle BDC$ (= $90^\circ$ )

Por la misma lógica, $\triangle ABC \cong \triangle BDC$ . Pero no lo son. Sólo son triángulos similares.

La clave de la aparente validez del argumento es que, efectivamente, los lados de los dos triángulos son iguales en el caso del alumno, a saber, $BD=CD$ y $AD=AD$ . Pero en este caso no los hay. Y el propio argumento muestra congruencia aparente haya o no lados correspondientes iguales.

Si el estudiante realmente quería demostrar la congruencia entre los dos triángulos, simplemente utilice el teorema de Pitágoras.

Editar: Sí, los comentarios de abajo son correctos.

Además, si defecto no significa invalidez, sino imperfección, como indirecta, entonces sí la hay. En el argumento del estudiante, el paso 2 y el paso 3 son suficientes para demostrar $\angle BAD=\angle CAD$ .