Rayos atrapados que rebotan entre dos cuerpos convexos

Question

En algún momento de mi investigación me enfrenté a este problema, pero no le dediqué mucho tiempo. De todas formas se quedó en el fondo de mi mente y sigo interesado en pistas para resolverlo. Aplicación: propiedades asintóticas de las ecuaciones de Schroedinger, dispersión.

Tienes dos conjuntos convexos (compactos, lisos, todo) disjuntos en el plano. Consideremos un rayo que parte del complemento de los dos conjuntos y rebota en la frontera de los conjuntos de la forma habitual, con los rayos entrante y saliente formando ángulos iguales con la normal a la frontera. P.: ¿Existe siempre un rayo atrapado que nunca sale de una bola que contenga los dos conjuntos? Esto puede ocurrir, por supuesto, si el rayo rebota eternamente entre los dos cuerpos. Un ejemplo trivial se obtiene si los conjuntos tienen dos lados paralelos, y el rayo se elige perpendicular a ambos. Se pueden construir ejemplos menos triviales (incluso estrictamente convexos) eligiendo primero una trayectoria, y luego uniendo los puntos (es decir, los puntos de inflexión de la trayectoria) con curvas convexas; con un poco de trabajo y algunos ajustes en la trayectoria, se pueden producir multitud de ejemplos.

Pero, ¿es siempre así? dados dos cuerpos arbitrarios, ¿existe siempre un rayo atrapado?

EDITAR (ver comentario de Pietro): Me refiero a otro rayo atrapado además del rayo atrapado "trivial" que rebota entre los puntos más cercanos de los dos conjuntos (una versión general del caso trivial antes mencionado de dos lados paralelos).

EDIT 2 (resumen rápido de la discusión para beneficio de futuros lectores): la respuesta es sí para límites suaves y grandes (en particular, con interior no vacío) conjuntos de puntos iniciales. Basta un argumento de continuidad para demostrarlo. Si la frontera no es lisa, pueden surgir problemas. Por ejemplo, para dos polígonos con un par de lados paralelos enfrentados, la única semirrecta atrapada es la periódica.

PD: en retrospectiva, la pregunta era bastante elemental, pero me ha gustado mucho debatirla aquí :)

Answer 1

Sí, siempre hay un rayo atrapado. La forma más sencilla de verlo es encontrar la trayectoria entre los dos cuerpos que minimice la longitud. Es necesariamente perpendicular a ambas superficies.

EDIT: Veo que la pregunta fue editada para pedir algo más que esta respuesta trivial, así que la nueva respuesta: hay un único rayo atrapado desde cualquier punto de partida, pero no está atrapado en el tiempo hacia atrás a menos que esté en el camino más corto entre los cuerpos. Se puede encontrar minimizando la distancia de un camino en zig-zag que toca alternativamente los dos cuerpos un número finito de veces, pasando luego a un límite.

He aquí una generalización: supongamos que tenemos una colección de formas convexas lisas disjuntas $\{S_i\}$ en el plano dispuestas de forma que ninguna recta se cruce con más de dos. Entonces, para cualquier secuencia doblemente infinita de índices $ \dots, i_{-1}, i_{0}, i_{1}, \dots $ tal que $i_j \ne i_{j+1}$ existe una trayectoria única que interseca las formas en ese orden, empezando por $S_{i_1}$ en sentido positivo y $S_{i_0}$ yendo hacia atrás. Si la secuencia es periódica, puedes encontrar la trayectoria igual que para el caso de dos objetos. Para el caso infinito, puedes tomar límites.

Aunque las formas no sean convexas, mientras sean suaves las trayectorias siguen existiendo, pero no son necesariamente únicas. Si quieres decir algo sobre el caso en que los obstáculos no son lisos, puedes ampliar la regla para convertirla en un sistema dinámico no determinista, en el que un rayo que golpea una esquina puede elegir qué camino tomar.

Este tipo de sistemas son los sistemas dinámicos clásicos, bien conocidos desde principios del siglo pasado. Quizá alguien con más conocimientos pueda proporcionar referencias apropiadas. Es un caso especial limitante de la teoría del flujo geodésico en superficies de curvatura negativa.

En respuesta a un comentario, he aquí algunos detalles más (que no caben por sí solos en un comentario). La pregunta se refería a la estabilidad y a cómo demostrar la convergencia en el proceso límite.

Para demostrar la existencia, no se necesita estabilidad: basta con tomar una secuencia de rayos cada vez más largos y elegir una subsecuencia convergente. La existencia se debe a la compacidad del conjunto de direcciones iniciales posibles.

Para demostrar la unicidad: se deduce de la hiperbolicidad del flujo. Piensa en los obstáculos convexos como espejos trucados que te hacen parecer delgado, cilindros con sección transversal convexa. La convexidad implica que los rayos reflejados divergen al menos tan rápido como lo harían desde un espejo plano. Las sucesivas imágenes reflejadas de los dos espejos entre sí se hacen cada vez más finas, de modo que se estrechan hasta un punto único. (En la imagen tridimensional, también se estrechan verticalmente, sólo que a la velocidad relativamente lenta a la que las imágenes se contraen con la distancia en el espacio euclidiano, en lugar de a la velocidad exponencial resultante de los espejos convexos de 2º orden).

Una manera de formalizar la discusión anterior es mediante el uso de teoremas de comparación de triángulos. Doble el complemento de los cuerpos convexos para formar una superficie. La superficie puede ser suavemente aproximada por una superficie de curvatura no positiva si es reconfortante, pero eso no es técnicamente necesario; la declaración (intuitivamente obvia) sobre los tamaños de imagen anteriores se convierten en casos de la Teorema de comparación de Toponogov .

Answer 2

Esto no es una respuesta a su pregunta específica, pero me recordó a Janos Pach relacionados y aún sin resolver problema del bosque encantado : Si enciendes una cerilla en un bosque de árboles de espejos circulares disjuntos, ¿escapará la luz hasta el infinito? Se cita, por ejemplo, en la p.19 de H. T. Croft, K. J. Falconer y R. K. Guy, Sin resolver Problemas de geometría Springer, Nueva York, 1991. He aquí una imagen que hice con un alumno mientras investigaba esta cuestión.
          

Answer 3

Una conjetura razonable (suponiendo suavidad y convexidad estricta de los dos cuerpos) me parece que cualquier rayo de rebote acotado se encuentra necesariamente completamente a un lado de la línea de conexión minimizadora, y es asimptótico a ella como $t\to\infty.$ También parece cierto que hay al menos un rayo de este tipo en cada lado. Fijar una recta paralela $r$ a la línea de minimización, aún conectando los dos cuerpos. Perturbar la trayectoria periódica de un ángulo $\epsilon$ desde uno de sus dos puntos de rebote, desde el lado donde $r$ es. En un número finito de rebotes llegarás a la línea $r$ con un vector basado $v_\epsilon$ . Tome un límite $ v_0$ de una subsecuencia del $v_\epsilon$ como $\epsilon\to0$ : Yo diría que a partir del punto inicial y la velocidad $-v_0$ se obtendrá un rayo atrapado entre las dos líneas y los cuerpos (esto parece fácil de mostrar) y teniendo el segmento minimizador como $\omega$ -límite.

(En cuanto al tema de las etiquetas, revisando la lista de etiquetas creo que las más adecuadas son: sistemas dinámicos y geometría convexa . En realidad, aún más preciso debería ser billar (si no pinball ); tal vez podríamos crearlo).

EDIT: en realidad, hay todo un conjunto abierto de puntos iniciales que admiten una semirrecta asintótica al segmento minimizador (llamémosle $a$ y $b$ sus puntos extremos, pertenecientes respectivamente a la convexa $A$ y $B$ ).

Precisamente, para $x\notin A\cup B$ deje $x'\in A$ sea el punto de distancia mínima a $x$ . Supongamos que $x$ ve todo el arco $\Gamma$ de $\partial A$ conectando $a$ y $x'$ (aquí "ve $\Gamma$ "significa, por supuesto, que el casco convexo de $x$ y $\Gamma$ no cumple $B$ ). Es fácil demostrar que existe un punto $y$ en el arco $\alpha$ tal que un rayo desde $x$ a $y$ genera una semirrecta asintótica al segmento $[a,b]$ . (Creo que también es único, y que esta construcción produce todos los rayos acotados).