Integrales desde un punto de vista no analítico

Question

Ya he mencionado antes que estoy utilizando este foro para ampliar mis conocimientos sobre cosas de las que sé muy poco. He aprendido integrales como todo el mundo: está la integral de Riemann, luego la integral de Lebesgue, y luego cambiamos de marco a los colectores, y tenemos ese truco de usar particiones de la unidad para definir integrales.

Sin embargo, todo esto parece muy ad hoc. No es natural. Soy consciente de que es una pregunta bastante trivial para muchos de ustedes (¡por eso la hago!), pero ¿cuál es la definición natural "correcta" en la que deberíamos pensar cuando pensamos en integrales?

Sé que hay alguna relación con un emparejamiento perfecto de homología y cohomología, relacionado de algún modo con la dualidad de Poincare (¿es así?). ¿Y también hay algo sobre las clases de Chern? Mi geometría, como se puede ver, es bastante confuso (siendo muchos años en mi pasado).

Si se te ocurre un marco natural que no tenga que ver con las palabras clave que he mencionado, también sería muy bienvenido.

Answer 1

He aquí mi construcción favorita de la integral (de Lebesgue).

Supongamos que M es una variedad lisa arbitraria. Denotemos por Or(M) el haz de líneas de orientación de M. Este haz está dotado de una métrica canónica de Riemann. Los vectores de longitud 1 en la fibra de Or(M) sobre un punto p∈M corresponden canónicamente a las dos orientaciones del espacio tangente en el punto p. La variedad M es orientable si y sólo si el haz Or(M) es trivializable. Elegir una orientación de M equivale a elegir una trivialización isométrica de Or(M).

El haz Or(M) junto con su métrica natural es plano. De ahí que podamos retorcer el complejo de Rham Ω^0(M)→⋯→Ω^n(M) por Or(M) y obtenemos lo siguiente complejo trenzado de de Rham : Ω^0(M)⊗Or(M)→⋯→Ω^n(M)⊗Or(M). (Aquí por un complejo entiendo un complejo de sheaves). El haz de líneas Ω^n(M)⊗Or(M) se denomina el haz de densidades y se denota por Dens(M). Este haz tiene una orientación canónica (por lo tanto es trivializable), pero no tiene una métrica canónica ni una trivialización canónica. canónica o una trivialización canónica.

La cohomología del complejo de de Rham retorcido (con soporte compacto) se denomina cohomología retorcida de de Rham (con soporte compacto). Tenemos un mapa canónico C^∞_cs(Dens(M))→H^n_cs(M,Or(M)). Aquí C^∞_cs es el espacio de secciones globales de un haz vectorial con soporte compacto y H^n_cs denota la enésima cohomología con soporte compacto.

La dualidad de Poincaré nos da un isomorfismo canónico H^n_cs(M,Or(M))→H_0(M). Por último, el mapa de M al punto induce un mapa en homología H_0(M)→H_0(∙)=R.

La composición de mapas C^∞_cs(Dens(M))→H^n_cs(M,Or(M))→H_0(M)→H_0(∙)=R nos da un mapa ∫: C^∞_cs(Dens(M))→R, que es el mapa de integración. Nótese que la integración real (sobre cada componente conectada) ocurre en el primer mapa. El segundo mapa es un isomorfismo y el tercer mapa simplemente suma integrales sobre componentes conectadas individuales.

El mapa f∈C^∞_cs(Dens(M))→∫|f|∈[0,∞) es una norma en C^∞_cs(Dens(M)). Completando C^∞_cs(Dens(M)) en esta norma se obtiene L_1(M)(=L^1(M)), que puede identificarse con el espacio de medidas finitas de valor complejo en M.

El espacio de funciones medibles acotadas sobre M (=L_0(M)=L^∞(M)) puede construirse completando C^∞(M) en la topología σ-débil inducida por L_1(M). Otros espacios L_p pueden construirse de forma similar a L_1(M) completando secciones del haz de p-densidades en lugar del haz de 1-densidades Dens(M).

El desarrollo del resto de la teoría de la medida en este enfoque es en gran medida paralelo a el explicado en una de mis respuestas anteriores .

Quiero subrayar que estas construcciones no se basan en ninguna teoría de la integración existente. De hecho, pueden usarse para construir teoría de la integración en variedades lisas desde cero sin referirse nunca a la teoría de la medida habitual con sus largas y técnicas demostraciones.

Añadido más tarde: A mitad de la prueba, nos basamos en la dualidad de Poincaré, que puede establecerse más fácilmente utilizando la cohomología de gavillas. Para ello, hay que demostrar que la cohomología de de Rham es isomorfa a la cohomología de gavilla con coeficientes reales. Esto se reduce inmediatamente al lema de Poincaré.

La forma más sencilla de establecer el lema de Poincaré es la siguiente. El complejo de Rham de una variedad lisa de dimensión finita M es el anillo libre C^∞-dg sobre el anillo C^∞ C^∞(M). Si M es la variedad lisa subyacente de un espacio vectorial real V espacio vectorial real finito V, entonces C^∞(M) es el anillo libre C^∞ sobre el espacio vectorial V* (el dual real de V). Así pues, el complejo de Rham de un espacio vectorial real finito V es el anillo libre C^∞-dg sobre el espacio vectorial V*. Este anillo C^∞-dg libre es el anillo C^∞-dg libre del complejo cochain libre en el espacio vectorial V*. Este último complejo de co-cadenas es simplemente V*→V* con el diferencial de identidad. Es equivalente en homotopía de co-cadena al complejo de co-cadena cero, y el funtor libre de complejos de co-cadena a anillos C^∞-dg preserva las equivalencias de homotopía de co-cadena. Así, el complejo de de Rham de la variedad lisa V es equivalente en homotopía de co-cadena al anillo libre C^∞-dg en el complejo de co-cadena cero, es decir, R en grado 0.

Answer 2

Como los demás han mencionado, la integración sobre una colector liso orientado conectado $M$ puede caracterizarse (modulo algunos tecnicismos) según el hecho de que encaje en una secuencia exacta:

$\Omega_c^{n-1}(M) \to \Omega_c^n(M) \to \mathbb{R} \to 0$

donde $\Omega_c^*$ se refiere al complejo de De Rham, la primera flecha es la diferencial de De Rham, y la segunda flecha es la integración. En particular, $\int_M$ define un isomorfismo $H^n(M^n) \to \mathbb{R}$ . Esta línea de pensamiento conduce a la dualidad de Poincare: si se toma una submanifold $V$ que representa una dimensión $p$ clase homológica de $M$ (esto siempre es posible ratianamente ) entonces el isomorfismo de integración determina una dimensión $p$ clase de cohomología $[\omega]$ y esto se puede emparejar con una clase de cohomología $[\eta]$ en dimensión $n-p$ a través del producto exterior (producto taza):

$([\omega],[\eta]) \mapsto \int_M \omega \wedge \eta$

La dualidad de Poincare es precisamente la afirmación de que este emparejamiento es no degenerado. Creo que este punto de vista sobre la integración -como un emparejamiento entre homología y cohomología- conduce a muchas de las formulaciones genuinamente no analíticas de la integración.

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Aun así, yo no consideraría que esto tenga la última palabra como definición natural correcta de integración. Por un lado, los múltiples no son ni mucho menos los únicos espacios sobre los que se puede querer integrar, y dudo mucho que la integración tenga una formulación cohomológica en cualquier generalidad seria más allá de los múltiples. En segundo lugar, la teoría de las medidas es realmente fundamental para la integración y debería estar implicada de forma esencial; la gente de sistemas dinámicos a menudo se preocupa tanto por la medida como por la integral.

Esto es lo que creo que es la integración. Deje que $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto (esto es suficiente generalidad para la gran mayoría de aplicaciones de la integración que conozco) y consideremos el espacio $C_0(X)$ de funciones continuas sobre $X$ que desaparece en el infinito (en el sentido de la compactificación de un punto). Cualquiera que sea la intuición que tengas sobre la integración, debe decirte que la integral debe ser una forma de asignar un número real a una función continua (quizá también a otras funciones) que dependa linealmente de la función. En otras palabras, tiene que ser algún tipo de funcional lineal sobre $C_0(X)$ . Por supuesto, no todas las funciones lineales merecen ser llamadas integrales - si $x \in X$ entonces $f \mapsto f(x)$ es una función lineal sobre $C_0(X)$ pero no tiene mucho sentido llamarla "integral".

Así que permitimos que la topología de $X$ desempeñar un papel más importante. Recordemos que $C_0(X)$ es un espacio de Banach si está equipado con la norma uniforme, y como tal viene equipado con una colección preferida de funcionales lineales: el conjunto $C_0(X)^*$ de funciones lineales continuas. Si fingimos por un momento que ya hemos trabajado muy duro y construido la teoría de la integración con respecto a una medida de Borel $\mu$ entonces, suponiendo que la medida esté lo suficientemente ligada a la topología de $X$ (precisamente, debe ser una "medida de Radon") tendríamos un funcional lineal continuo $I_\mu$ en $C_0(X)$ dado por $I_\mu(f) = \int f d\mu$ .

Teorema de la representación de Riesz: Sea $M(X)$ denotan el espacio de Banach de las medidas de Radon sobre $X$ . El mapa $M(X) \mapsto C_0(X)^*$ dado por $\mu \mapsto I_\mu$ es un isomorfismo isométrico.

Por consiguiente, si no hubiéramos inventado ya una noción de integración, sería perfectamente posible definir simplemente $\int_X f d\mu$ ser $I_\mu(f)$ . Personalmente creo que esta es la forma correcta de pensar en las integrales.

Answer 3

Si le interesan los colectores, es posible que le interesen las nociones de mide y distribuciones . Sea $M$ sea una variedad lisa con un álgebra de funciones $C^\infty(M)$ . Existe una noción muy general de distribución que es la de cualquier función lineal $C^\infty(M) \to \mathbb R$ . En este marco, una distribución es un medir si cumple una condición de positividad, a saber, que lleva funciones en todas partes negativas a números no negativos.

Otra definición diferente de "distribución" corresponde a la haz de distribución en $M$ que es un haz lineal canónico trivializable en $M$ . Se puede presentar pegando datos y amplitudes de transición de la siguiente manera. Sea $U,V \subseteq M$ con $\phi: U \to \mathbb R^n$ y $\psi: V \to \mathbb R^n$ sean gráficos de coordenadas, y consideremos los haces triviales haces unidimensionales sobre $U,V$ . Los unimos mediante datos de transición: si $f$ es una sección sobre $U$ del haz trivial, en $U\cap V$ lo identificamos con la sección $f \cdot \left| \det \frac{\partial \phi}{\partial \psi}\right|$ del haz trivial sobre $V$ . (Cuando $M$ está orientado, este haz es el mismo que el haz determinante $\wedge^{\operatorname{top}} {\rm T}^*M$ el haz determinante es siempre un haz lineal, por lo que su cuadrado es trivializable, y tiene una raíz cuadrada trivializable, que es el haz lineal de distribución si $M$ está orientado o no). Nótese que las funciones de transición preservan la positividad de las secciones, por lo que la noción de "distribución positiva" y demás están bien definidas.

Por último, si está interesado en una noción totalmente algebraica de integración para $\mathbb R^n$ quizá le interese la siguiente observación, que en cierto modo es más antigua, pero que sin embargo merece llamarse observación de Berezin. A saber integral como un mapa lineal $C^\infty_{\operatorname{compact}}(\mathbb R^n) \to \mathbb R$ está definida de forma única hasta un múltiplo escalar por el hecho de que desaparece en las imágenes de $\frac{\partial}{\partial x_i} : C^\infty_{\operatorname{compact}}(\mathbb R^n) \to C^\infty_{\operatorname{compact}}(\mathbb R^n)$ . Aquí $C^\infty_{\operatorname{compact}}(\mathbb R^n)$ es el álgebra de las funciones suaves con soporte compacto, y $x_1,\dots,x_n$ son las funciones de coordenadas habituales en $\mathbb R^n$ . Hay muchas situaciones en las que nombrando un álgebra "de funciones" y algunas "derivadas parciales" se puede determinar de forma única (hasta escalar) una "integral". Un ejemplo es el álgebra de las formas diferenciales de de Rham en una variedad orientada $M$ y las "derivadas parciales" son las de Rham $d$ y las derivadas de Lie para todos los campos vectoriales en $M$ . Este únicamente elige la integral que es cero en las formas no superiores e integra las formas superiores sobre $M$ como "medida" canónica sobre el "espacio" cuya "álgebra de funciones" son las formas diferenciales. Este es un ejemplo de "superintegral", y fue para motivar una definición de superintegrales que Berezin hizo la observación anterior.