Encontrar ejemplos de funciones continuas

Question

Busco 1) una función discontinua en 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... pero continua en todos los demás puntos 2) una función discontinua en 1, 1/2, 1/3, /4, 1/5, ... pero continua en todos los demás puntos.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$ y definir

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 0, & x=1/n \text{ for some } n\in \mathbb{N} \\ x, & \text{ elsewhere.} \end{array} \right.$$

Answer 2

CONSEJO : Siempre que quieras que una función sea discontinua en $a$ dividir por $(x-a)$ .

Repita el proceso para cada discontinuidad.

O, si quieres que exista en la discontinuidad entonces algo como : $$f(x) = \begin{cases}1 \qquad \forall \, x\in \mathbb R \backslash E\\ 0 \qquad \forall \, x \in E\end{cases}$$

donde $E$ es el conjunto donde se quiere que sea discontinuo.

Answer 3

$f(x)=\dfrac1{\{1/x\}}$ sería un ejemplo de ello.