Primero os recomendaría a ti y a tu amigo que pasarais más tiempo con Tits :), "Reductive groups over local fields", del volumen Corvallis (gratis en línea, la última vez que lo comprobé). Sin duda hay otras referencias, como los trabajos de Prasad-Raghunathan mencionados por Greg Kuperberg, y cualquier trabajo que trate la teoría de Bruhat-Tits para grupos unitarios. Intentaré ofrecer aquí un tratamiento básico.
Seguro que estás acostumbrado a la teoría Bruhat-Tits para $SL_2$ o al menos para $PGL_2$ más de $Q_p$ donde se encuentra el $(p+1)$ -árbol regular. Como usted sabe, $PGL_2(Q_p)$ actúa sobre este árbol, y el estabilizador de un punto es un subgrupo compacto maximal que es conjugado a $PGL_2(Z_p)$ y el estabilizador de una arista es un subgrupo Iwahori. Esto supongo que es una imagen familiar.
Para entender las sutilezas del "punto especial", primero hay que pensar en un grupo como $G=SU_3$ -- el $Q_p$ -de una forma cuasisplit de $SL_3$ asociado a un unramified extensión del campo cuadrático $K/Q_p$ con $p$ impar. Deja $S$ sea un máximo $Q_p$ -toro dividido en $G$ . Entonces $S$ tiene rango uno, aunque el grupo $G$ tiene rango absoluto dos. De ello se deduce que el edificio de Bruhat-Tits para $SU_3$ es de nuevo un árbol, aunque no tan simple como el $SL_2$ caso. De hecho, en esta situación no ramificada, el edificio puede verse como los puntos fijos del edificio de $G$ en $K$ (que es el edificio de $SL_3$ ), bajo la involución de Galois.
Ahora, hay que pensar en la relativa raíces de $G$ con respecto a $S$ -- es decir, descomponer el álgebra de Lie de $G$ con respecto a la acción adjunta de $S$ . Hay cuatro eigenspaces con valor propio no trivial -- son los espacios raíz para las raíces relativas que llamaré $\pm \alpha$ y $\pm 2 \alpha$ . Los espacios raíz ${\mathfrak g}_{\pm \alpha}$ son bidimensionales.
Ahora, dejemos que $A$ sea el apartamento del edificio asociado a $S$ -- $A$ es un espacio homogéneo principal para el espacio vectorial real unidimensional $X_\bullet(S) \otimes_Z R$ . Después de elegir un buen punto base (un punto base hiperespecial, utilizando el hecho de que $K/Q_p$ no está ramificado), $A$ puede identificarse con $X_\bullet(S) \otimes_Z R$ y las raíces afines son funciones de la forma $\pm \alpha + k$ y $\pm 2 \alpha + k$ donde $k$ puede ser cualquier número entero.
Sea $h$ sea un generador de rango 1 $Z$ -módulo $X_\bullet(S)$ de modo que $\alpha^\vee = 2 h$ y $A = R \cdot h$ . Las raíces afines vienen dadas por: $$[\pm \alpha + k](r h) = r + k, [\pm 2 \alpha + k](r h) = 2r + k.$$ Los hiperplanos de fuga de estas raíces afines son los puntos: $$r h : r \in \frac{1}{2} Z.$$ Estos son los vértices del edificio, contenidos en el apartamento $A$ .
Consideremos ahora un vértice $nh$ donde $n$ es un número entero. Las raíces afines $\pm (\alpha - n)$ y $\pm (2 \alpha - 2n)$ desaparecen en el vértice $n$ . En gradientes de estas raíces afines son las raíces $\pm \alpha$ y $\pm 2 \alpha$ . Estos son todos de las raíces en el sistema radicular original (relativo). Por eso estos vértices son vértices hiperespeciales.
Por otro lado, consideremos un vértice $(n + \frac{1}{2}) h$ donde $n$ es un número entero. Las raíces afines que desaparecen en este vértice son $\pm (2 \alpha - 2n - 1)$ . Los gradientes de estas raíces afines son las raíces $\pm 2 \alpha$ . Estos son no todas las raíces originales, pero todas las raíces originales son proporcional a estas raíces. Usted puede ver cómo este fenómeno requiere el establecimiento de un sistema radicular no reducido a suceder. Estos vértices "semi-integrales" son puntos especiales, ya que el sistema de raíces original no se da en el sistema de gradientes, pero sí hasta la proporcionalidad. En estos puntos especiales (pero no hiperespeciales), el esquema del grupo de Bruhat-Tits subyacente al parahoric tiene fibra especial con cociente reductor isomorfo a $PGL_2$ (Creo... o es $SL_2$ ) sobre el campo de residuos. En los puntos hiperespeciales, el grupo sería un cuasisplit $SU_3$ sobre el campo de residuos.
Por si no queda claro arriba, se produce un punto especial en el edificio en el que el conjunto de gradientes de raíces afines que desaparecen en ese punto es igual, módulo de proporcionalidad, al conjunto de raíces relativas. Ésa es la definición general.
Espero que le sirva de ayuda. Para más información, consulte Tetas.
