Confusión en la notación
Hay bastante confusión en las fórmulas. Por ejemplo, estimamos $Q_a$ vía $\frac{q_a}{q}Q$ y tratarla como una variable aleatoria. Suponiendo $Q,q$ son escalares conocidos, y $q_a$ es una variable aleatoria, la fuente de aleatoriedad dentro de $Q_a$ proviene de $q_a$ y se cumple lo siguiente:
$$\operatorname{var}(Q_a)=\frac{Q^2}{q^2}\operatorname{var}(q_a)$$
La fórmula anterior es función de $Q$ y $q$ Sin embargo, la fórmula de Manual de evaluación del tráfico del Reino Unido contiene todos los términos, es decir $Q, q$ y $q_a$ . Así, la variable aleatoria $q_a$ también aparece en la fórmula final. Es como decir $\operatorname{var}(X)\propto \alpha X$ que en general no es correcto, ya que el resultado debería haber sido un escalar en lugar de una cantidad aleatoria. Si la fórmula hubiera significado realmente $\operatorname{var}(Q_a|q_a)$ para que tengamos derecho a utilizar $q_a$ en la expresión de salida, entonces la varianza debería haber sido $0$ ya que no queda ninguna otra aleatoriedad en la expresión de $q_a$ es decir $\operatorname{var}(X|X)=0.$
Así pues, aunque la intuición es clara, es decir, calcular una medida de incertidumbre en la estimación del número real de coches que tienen el atributo de interés, la fórmula no tiene sentido en el análisis.
Una fórmula aproximada
La situación se asemeja a distribución hipergeométrica aunque en ese $Q,q,Q_a$ son conocidos. Aquí, no sabemos $Q_a$ y estimarlo mediante una fórmula sencilla, que es también el estimador del método de los momentos para $Q_a$ . Digamos que el verdadero número de coches que interesan es $R$ (ya que nos reservamos $Q_a$ para la estimación, es decir $\hat R=Q_a$ ). Entonces, la varianza de $q_a$ se da en la página de la wikipedia de la siguiente manera: $$\operatorname{var}(q_a)=q\frac{R}{Q}\frac{Q-R}{Q}\frac{Q-q}{Q-1}\rightarrow\operatorname{var}(Q_a)=\frac{R(Q-R)(Q-q)}{q(Q-1)}$$
Pero, no sabemos $R$ por lo que no podemos cuantificar esta fórmula. Algo sencillo es simplemente introducir su estimación, es decir $R\approx \hat R=Q_a=q_aQ/q$ en la fórmula: $$\operatorname{var}(Q_a)\approx \frac{Q}{(Q-1)}\frac{Q(Q-q)}{q^3}q_a(q-q_a)=\frac{Q(q-1)}{(Q-1)q}\underbrace{\frac{Q(Q-q)}{q^2(q-1)}q_a(q-q_a)}_{\text{Given Formula}}$$
Esta fórmula es muy parecida a la que se da en el manual, el multiplicador del principio se puede suponer realmente cercano a $1$ si ambos $q$ y $Q$ se suponen suficientemente grandes, ya que $\frac{q}{q-1}\approx \frac{Q}{Q-1}$ .
Vía bayesiana
Como ya he dicho, se trata de un aproximación a la varianza. Para cuantificar correctamente la varianza, se requiere una distribución a priori sobre $R$ debe estar presente. Entonces, la fórmula que encontramos arriba sería $\operatorname{var}(Q_a|R)$ y podríamos utilizar la ley de la varianza total para hallar la varianza de $Q_a$ :
$$\operatorname{var}(Q_a)=E[\operatorname{var}(Q_a|R)]+\operatorname{var}(E[Q_a|R])$$
Aquí, el primer término es un simple valor esperado $E[R(Q-R)]\frac{Q-q}{q(Q-1)}$ y el segundo término es $$\operatorname{var}(E[Q_a|R])=\operatorname{var}(E[q_aQ/q|R])=\operatorname{var}(R)$$
dependiendo ambos de la distribución a priori de $R$ . No creo que haya ninguna explícitamente asumida en el documento.
