Probabilidad condicional regular dada una filtración natural de un proceso estocástico

Question

Vale, esto es una especie de re-post, pero creo que puedo aclarar más la pregunta, así que vale la pena intentarlo.

Considere un proceso real valorado $(X_t)_{t \leq T}$ cadlag en un espacio de probabilidad $(\Omega, (\mathcal{F}^\circ_t)_{t \leq T}, \mathbb{P}). \mathcal{F}^\circ_t=\sigma(X_s;s\leq t)$ es la filtración natural no completada generada por $X_t$ . Por desgracia, $X_t$ ni tiene incrementos independientes, ni es markov. Dado que $\Omega$ es un espacio polaco, $\mathcal{F}^\circ_T$ y también $\mathcal{F}^\circ_t$ se generan contablemente, por lo que sabemos que existe una versión regular de la probabilidad condicional de $\mathbb{P}$ para cualquier $t$ para $\mathbb{P}$ -a.a. $\omega$ es decir, para $t$ , $\mathbb{P}(\cdot|\mathcal{F}_t)(\omega)$ es una medida prob. f.a.a. $\omega$ .

Por lo tanto, sabemos que para todo $t\in [0,T]\cup \mathbb{Q}$ encontramos una probabilidad condicional regular f.a.a. $\omega$ en función de $t$ . Dicho de otro modo: Dada casi cualquier trayectoria del proceso hasta el tiempo $t$ podemos deducir la probabilidad de los acontecimientos teniendo en cuenta esa información.

En el resto $\omega$ 's, definir alguna medida sin sentido, por lo que tenemos una medida $\forall \omega$ . ¿Cómo puedo ampliar esto a todos los $t$ de forma razonable? Significa razonable: Hay un conjunto Nulo $N$ de modo que $\forall t$ $\mathbb{P}(\cdot|\mathcal{F}_t)(\omega)$ , $\omega\in N^c$ es una medida ¿Alguien ha visto algo así?

He leído algo así sólo para los procesos de Markov y Feller que utilizan generadores infinitesimales, pero esto no se puede llevar uno a uno, porque no tenemos un semigrupo de transición.

Tal vez tenga aquí un profundo malentendido. Agradezco cualquier objeción, sugerencia o comentario.

Answer 1

Supongamos que trabajamos con el espacio de probabilidad canónico $\Omega = D(\mathbb R)$ de funciones càdlàg, y $\mathbb P$ es la ley del proceso. Dudaría que hubiera una respuesta satisfactoria al nivel de máxima generalidad que has expuesto. Como mínimo, la medida $\mathbb P$ debe ser Radon. Existen resultados extremadamente generales sobre la existencia de PCR para medidas de Radon (cf. Leão, Fragoso y Ruffino, Probabilidad condicional regular, desintegración de la probabilidad y espacios de Radon ).

El PCR es una función medida-valorada $P : [0,T] \times \Omega \to \mathcal M(\Omega)$ tal que para $\mathbb P$ -casi todos $\omega$ la medida $P(t,\omega, \cdot)$ es una versión de $\mathbb P(\cdot|\mathcal F_t)$ . ¿Desea que la función $(t, \omega) \mapsto P(t,\omega,\cdot)$ ¿simplemente existir y ser medible? Si es así, esto puede hacerse con la amplia generalidad indicada anteriormente; véase Leão et al.

Recientemente, he necesitado más propiedades de regularidad para los PCR, en concreto, la continuidad. Consideremos el espacio $\mathcal M(\Omega)$ de las medidas Radon en $\Omega$ equipado con la topología de convergencia débil de medidas. Decimos que la RCP es una desintegración continua (o PCR continua) cuando cumple la siguiente propiedad: $$\mbox{if $ \omega_n \to \omega $, then the measures $ P(t,\omega_n,\cdot) $ converge weakly to $ P(t,\omega,\cdot) $.}$$

Si la ley es gaussiana, entonces mi preimpresión Desintegraciones continuas de procesos gaussianos da una condición necesaria y suficiente para que la ley $\mathbb P$ tener una desintegración continua. No he pensado en esto en el caso de las funciones càdlàg, pero estoy bastante seguro de que esto se extenderá fácilmente. Tenga en cuenta que esto es sólo para fijo $t$ .

Para demostrar que el mapa $(t, \omega) \mapsto P(t,\omega,\cdot)$ conjuntamente continua, es necesario un poco más de trabajo. Como parte de un proyecto más amplio, Janek Wehr y yo tenemos resultados generales en esta dirección para procesos estacionarios gaussianos. Si esto es lo que necesitas, estaré encantado de discutirlo contigo.

Pregunta abierta: Si la ley $\mathbb P$ no es gaussiano pero al menos es log-Sobolev, entonces todos los mismos resultados deberían ser válidos. Esto se debe a que las medidas log-Sobolev satisfacen propiedades de concentración de medida muy fuertes. Tengo algunas ideas sobre cómo hacerlo, pero no he concretado los detalles porque he estado ocupado con otros proyectos. Si alguien está interesado en colaborar en la ampliación de este trabajo al caso log-Sobolev, póngase en contacto conmigo.