En mecánica cuántica, ¿cómo se obtiene la expresión del valor medio de un observable?

Question

En los Principios de QM de Dirac se afirma lo siguiente:

$$ \langle x | A + B | x \rangle = \langle x | A | x \rangle + \langle x | B |x \rangle $$

pero

$$ \langle x | AB | x \rangle \ne \langle x | A | x \rangle \langle x | B | x \rangle $$

y así $\langle x|A|x \rangle$ no es exacto sino el valor medio del observable A, de lo contrario en la segunda relación ambos lados tendrían que ser iguales. No entiendo la segunda relación. ¿No deberían ambos lados ser iguales así? $\langle x|AB|x \rangle = \langle x|A(B|x \rangle) = b \langle x|A|x \rangle = ba \langle x|x \rangle = ba = \langle x|A|x \rangle \langle x|B|x \rangle$ donde $a$ y $b$ son los valores propios correspondientes. ¿Qué ocurre aquí?

Edición: Es vergonzoso. De hecho estaba pensando $|x\rangle$ era un vector propio de $A$ y $B$ por falta de sueño, supongo, de lo que me he dado cuenta esta mañana. Así que de todos modos voy a pedir moderador para eliminar esta pregunta.

Answer 1

Quizá pueda ayudarte con tu confusión. Si consideramos dos operadores hermitianos (sólo QM ordinario) $A,B$ y considerar $$<v|AB|v>$$ podrías encontrarte con varios escenarios.

1. $|v>$ es el estado propio del operador $A$ (con valor propio $a$ ) y el operador $B$ (con valor propio $b$ ). Entonces su argumentación es correcta. $<v|AB|v>=ab<v|v>=<v|A|v><v|B|v>$

2. Si $|v>$ no es un estado propio de uno de esos operadores (o de ambos), entonces $<v|AB|v>=<v|A|v><v|B|v>$ ya no es válida en general. Podríamos considerar un contraejemplo: $$A = \begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$$ $$B = A$$ $$AB = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$ $$|v> = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$$ Entonces..: $$<v|AB|v>=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=1$$ Pero..: $$<v|A|v>=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=0$$

De hecho, es muy importante darse cuenta de que los operadores no son siempre diagonales.

Answer 2

En general NO es cierto que $B|x\rangle=b|x\rangle$ . Esto sólo es cierto si $|x\rangle$ es un vector propio de $B$ . Sin embargo, hay otro fallo en tu razonamiento. Aunque $|x\rangle$ es un vector propio de $A$ y $B$ (como usted ha supuesto), NO es cierto que $\langle x| x\rangle=1$ (Supongo $|x\rangle$ representa un vector propio del operador de posición $X$ ). Los vectores propios de posición no son normalizables en el sentido habitual. Se normalizan a la función delta de Dirac de forma que $\langle y|x\rangle=\delta(y-x)$ lo que significa $\langle x|x \rangle=\delta(0)$ en infinito.