En el $S_4$ -(grupo de permutación de $4$ elementos) existe un grupo normal de orden $3$ . ¿Verdadero o falso?

Question

Este año estoy tomando clases de ciencias de ingeniería informática y por lo tanto, tenemos una clase de álgebra discreta. Por lo tanto, estoy familiarizado con los campos de Galois para polinomios en teoría de códigos, el algoritmo RSA, el teorema chino del resto, un poco de teoría de grupos y demás. Es el tipo de material típico para criptografía que nos dijo nuestro profesor. Otra observación es que traté de exponer esta pregunta lo más claramente posible porque fue solicitada explícitamente en este foro.

Este semestre me encontré con el teorema de Sylow. Pensé que entendía el teorema hasta que recientemente me encontré con este ejercicio:

"Verdadero o falso", da un contraejemplo o una prueba: En el $S_4$ -(grupo de permutación de $4$ elementos) existe un grupo normal de orden $3$ ."

Todos sabemos que el orden de este grupo es $4!=24$ . Ahora, $24$ tiene factores primos $4,3$ y $2$ .

Nuestra comprensión del teorema de Sylow I nos enseña que existen subgrupos de orden $2$ , $2^2$ , $2^3$ y $3$ . Si el grupo dado sólo tiene un subgrupo Sylow-p, entonces este único subgrupo Sylow-p es un subgrupo normal.

Entonces, podemos concluir que del teorema de Sylow II se deduce que existen sylow- $p$ -subgrupos no triviales de orden $3$ y $8$ (ya que estos números son la mayor potencia del número primo en la factorización de primos de $24$ ).

A continuación, aplicamos el teorema: $p=8$ y $m=3$ : $3 \pmod 8$ no da $1 \pmod 8$ por lo que existe un subgrupo normal con el orden de $8$ .

La otra opción da: $p=8$ y $m=3$ Así pues $8 \pmod 3 =2$ y $2$ no es igual a $1 \pmod 3$ por lo que existe un subgrupo normal de orden $3$ .

¿Es correcta mi respuesta a la pregunta? Agradecería mucho cualquier comentario, ya que mis compañeros no obtuvieron los mismos resultados que yo en esta pregunta.

Answer 1

Dos permutaciones de $S_n$ tienen el mismo tipo de ciclo sólo si se conjugan en $S_n$ . Así, para cada $3$ -ciclo $\sigma\in S_4$ como $\tau$ se ejecuta en $S_4$ , $\tau\sigma\tau^{-1}$ abarca todo conjunto de los $3$ -ciclos en $S_4$ cuyo tamaño es superior a $2$ (y por tanto hay más de un subgrupo de orden $3$ ). Por lo tanto, para cada subgrupo $H\le S_4$ de orden $3$ cuyos elementos no triviales son entonces $3$ -ciclos, necesariamente $\tau H\tau^{-1}\notin H$ para algunos $\tau\in S_4$ .

Answer 2

Para resolver este problema, tenemos que aplicar el Segundo y el Tercer Teorema de Sylow.

Sea $p$ sea un primo. El Segundo Teorema de Sylow afirma que todos los Sylow $p$ -subgrupos son conjugados. Por tanto, si un Sylow $p$ -subgrupo es normal, entonces debe ser único.

Sea $G$ sea un grupo tal que $|G|=p^nm$ donde $p\not\mid m$ y que $n_p$ sea el número de Sylow $p$ -subgrupos. El tercer teorema de Sylow establece que $n_p\equiv 1 \bmod p$ y $n_p\mid m$ .

Un subgrupo de $S_4$ de orden $3$ es un Sylow $3$ -subgrupo. Así que primero encontramos el número de Sylow $3$ -subgrupos, $n_3$ . Escriba a $|S_4|=24=2^3\cdot3$ . Por el Tercer Teorema de Sylow, $n_3\equiv 1 \bmod 3$ y $n_3 \mid 4$ . Las posibilidades de $n_3$ son $1$ y $4$ . Pero se puede ver que $\langle (123)\rangle$ y $\langle (234)\rangle$ son dos Sylow distintos $3$ -subgrupos. Esto implica que $n_3$ debe ser $4$ .

Dado que un Sylow $3$ -no es único, concluimos por el Segundo Teorema de Sylow que un Sylow $3$ -subgrupo no puede ser normal en $S_4$ .