Topología euclidiana estándar sobre los números reales $\mathbb{R}$ .

Question

Dado el conjunto $$A=\left\{\frac 1 n + 1 \ \Bigg|\ n\in \mathbb{N}\right\},$$

Sé que no es un plató abierto.

Pero, ¿es esto $A$ ¿Acotada, compacta o cerrada?

Answer 1

• $A$ es no cerrado porque $1$ es un punto límite de $A$ y $1\not\in A$ .

• Es no compacto porque no está cerrado.

• Es delimitado porque $1\le \frac{1}{n}+1\le 2$ .

Answer 2

Aquí $1$ es el único punto límite y $A\in (1,2]$ . Así que el el conjunto está delimitado y es semiabierto o semicerrado y puesto que es no cerrado Por lo tanto no es compacto .