¿Es cierto o no el Inverso del Teorema de Cayley-Hamilton?

Question

Estaba pensando en llevar el Teorema de Cayley-Hamilton en la dirección opuesta. ¿Se cumple : Si para $F\in$ Fin $(V)$ $\exists P\in K[t]$ tal que $P(F)=0$ entonces $P$ es el polinomio característico de $F$ ?

Si no es así, ¿podría dar un contraejemplo?

Answer 1

No. Si $p_F$ es el polinomio característico de $F$ y $q$ es cualquier otro polinomio, entonces $$P(F) = p_F(F) q(F) = 0 \cdot q(F) = 0.$$ Así que $P$ es un polinomio con $P(F) = 0$ que no sea el polinomio característico de $F$ (sólo toma $q$ no trivial).

También podemos hacer que ocurra algo como lo siguiente: Que $$F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Entonces $$p_F(t) = (1 - t)^2.$$ Pero, por supuesto, si $$q(t) = 1 - t,$$ tenemos $$q(F) = 0.$$

Answer 2

Para un ejemplo extremo en el que esto falla, considere la matriz cero $\left(0\right) \in M_n(k)$ . Aquí, el polinomio característico $\chi_0(t)=t^k$ que corresponde al hecho de que $0$ es un valor propio de $(0)$ con multiplicidad $n$ . Obviamente, sin embargo, $(0)$ es aniquilado por muchos otros endomorfismos, por ejemplo, el mapa de identidad.

Tu proposición resulta ser cierta si y sólo si el polinomio característico de $A$ es igual al polinomio mínimo de $A$ (el polinomio que realmente satisface el enunciado de tu proposición), y si sustituyes "es el polinomio característico" por "es un múltiplo del polinomio característico".

Edita: En los comentarios a continuación, se señala que $\chi_A$ no necesita ser irreducible para que esto funcione. Por supuesto, si $\chi_A$ es irreducible, entonces esto es cierto (y lo que quise decir, originalmente.)