He estado revisando algunos análisis para un examen y me he atascado en este problema (Strichartz 10.2.4 #20):
$$\text{If }f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} \in \mathcal{C}^k,f(-x)=f(x)\text{, show that }F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\text{ defined by }F(x)=f(||x||_2)\text{ is }\mathcal{C}^k$$
Empecé comprobando el caso especial en el que $k=1$ que se reducía a usar la regla de la cadena: $\partial_{x_i}F(x)=f'(|x|)\dfrac{x_i}{|x|}$ y obtenemos que es $0$ cuando $x=0$ debido a la propiedad par, por lo que es continua en todos los puntos para cualquier derivada parcial arbitraria. Siento que hay una manera de hacer un argumento de inducción de esto tomando una derivada y mostrando que el parcial es $\mathcal{C}^k$ por la hipótesis de la inducción, pero no consigo que funcione. Hasta ahora, lo he hecho:
Defina $g_i(t)=x_i\dfrac{f'(t)}{t}$ para $t \geq 0$ . Basta con demostrar que $g_i \in \mathcal{C^k}$ porque entonces $\partial_{x_i}F(x)=g_i(|x|)$ y la afirmación del problema se cumple por la hipótesis de inducción. Tenemos que $g_i^{(k)}(t)=x_i\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}f^{(k-j+1)}(t)\cdot(-1)^{j}\dfrac{j!}{t^{j+1}}$ pero no veo cómo proceder a partir de aquí, o incluso por qué esto es necesariamente continuo. Agradecería cualquier sugerencia.
