Demostrar que si $f\in C([a,b])$ , $f(a)=f(b)$ y $f_{-}'$ existe en $(a,b)$ entonces $\inf\{f_{-}'(x):x\in (a,b)\}\leq 0\leq \sup\{f_{-}'(x):x\in(a,b)\}.$
Mi intento: Desde $f$ es una función continua en un intervalo compacto debemos tener $p,q\in [a,b]$ tal que $f(p)=M$ y $f(q)=m$ donde $M$ es el valor máximo de $f$ y $m$ es el valor mínimo. Ahora debemos tener $f_{-}'(M)\leq 0$ y así el $\inf\{f_{-}'(x):x\in (a,b)\}\leq 0$ . Del mismo modo $f_{-}'(m)\geq 0$ y así $\sup\{f_{-}'(x):x\in(a,b)\}\geq 0.$
Esto se generaliza aún más cuando $f(a)\not =f(b)$ entonces tenemos $$\inf\{f_{-}'(x):x\in (a,b)\}\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \sup\{f_{-}'(x):x\in(a,b)\}.$$
Ambos problemas están muy relacionados y no estoy seguro de si mi intento de prueba es correcto o no. Sería estupendo que alguien me diera su opinión. Además, si la prueba funciona, no veo la manera de generalizarla al hecho antes mencionado. Así que cualquier pista en esa dirección también sería muy apreciada.
