Un problema de análisis confuso

Question

Sea $f:[0,1]\to [0,1]$ sea una función continua, biyectiva, estrictamente creciente tal que $f(0)=0$ , $f(1)=1$ y $f(x)<x$ para todos $x\in(0,1)$ . Sea $\tau:[0,1]\to\mathbb{R}$ ser un $C^1$ y para cada par de puntos $x,y\in (0,1)$ considere la secuencia
$$\Phi_n(x,y)=\left|\sum_{j=0}^{n-1}\tau\big(f^{j}(x)\big)-\tau\big(f^{j}(y)\big)\right|.$$ Demostrar que para todo $\varepsilon>0$ , $\exists$ $\delta>0$ tal que si $d(x,y)<\delta$ entonces $\Phi_n(x,y)<\varepsilon$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .

Este es el problema que estaba tratando de resolver, pero simplemente no sé cómo empezar, así que cualquier ayuda sería genial aquí.

Answer 1

Ponga $f(x)=x^a$ donde $a>1$ y $\tau(x)=x$ . Entonces $g_j(x)=\tau(f^j(x))=x^{aj}$ y $F_n(x)=\sum_{j=0}^{n-1} g_j(x)= x+\frac{x^a-x^{an}}{1-x^a}$ . Es evidente que $F_n$ converge a algún $F$ puntualmente en $(0,1)$ pero si la afirmación fuera cierta, $F$ sería uniformemente continua, lo que es imposible porque estalla en $1$ .