Pregunta sobre la fórmula de Euler

Question

Tengo una pregunta sobre la fórmula de Euler

$$e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$$

Quiero mostrar

$$\sin(ax)\sin(bx) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x))$$

y

$$ \cos(ax)\cos(bx) = \frac{1}{2}(\cos((a-b)x)+\cos((a+b)x))$$

No sé muy bien cómo empezar.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\begin{align} \cos (x\pm y)+i\sin(x\pm y)&=e^{i(x\pm y)}\\\\ &=e^{ix}e^{\pm iy}\\\\ &=\left(\cos x+i \sin x\right)\left(\cos y\pm i \sin y\right)\\\\ &=(\cos x \cos y\mp \sin x \sin y)+i(\sin x\cos y\pm \sin y\cos x) \end{align}$$

Answer 2

$$\sin { \left( ax \right) } \sin { \left( bx \right) =\left( \frac { { e }^{ aix }-{ e }^{ -aix } }{ 2i } \right) \left( \frac { { e }^{ bix }-{ e }^{ -bix } }{ 2i } \right) } =\frac { { e }^{ \left( a+b \right) ix }-e^{ \left( a-b \right) ix }-{ e }^{ \left( b-a \right) ix }+{ e }^{ -\left( a+b \right) ix } }{ -4 } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { e }^{ \left( a+b \right) ix }+{ e }^{ -\left( a+b \right) ix } }{ 2 } -\frac { { e }^{ \left( a-b \right) ix }+{ e }^{ -\left( a-b \right) ix } }{ 2 } \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( \cos { \left( a-b \right) x-\cos { \left( a+b \right) x } } \right) $$

mismo método que se puede hacer con $\cos { \left( ax \right) \cos { \left( bx \right) } } $

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Edita: $$\int { \sin { \left( ax \right) \sin { \left( bx \right) } } dx=\frac { 1 }{ 2 } \int { \left[ \cos { \left( a-b \right) x-\cos { \left( a+b \right) x } } \right] dx=\quad } } $$$$ \frac { 1 }{ 2 } \int { \cos { \left( a-b \right) xdx } } -\frac { 1 }{ 2 } \int { \cos { \left( a+b \right) xdx= } } $$

ahora para pedir calcular $\int { \cos { \left( a+b \right) xdx } } $ escriba a $$t=\left( a+b \right) x\quad \Rightarrow \quad x=\frac { t }{ a+b } \quad \Rightarrow dx=\frac { 1 }{ a+b } dt\\ \int { \cos { \left( a+b \right) xdx=\frac { 1 }{ a+b } \int { \cos { \left( t \right) } dt=\frac { 1 }{ a+b } \sin { \left( t \right) = } } \frac { 1 }{ a+b } \sin { \left( a+b \right) x } } } +C\\ $$

Answer 3

Pruebe a utilizar la identidad

$$\sin A \cos B \equiv \tfrac{1}{2}\left(\sin(A + B) + \sin(A - B)\right)$$

Answer 4

Si desea utilizar sólo la ecuación de Euler y sin identidades trigonométricas (excepto el hecho de que $\sin(x),\cos(x)$ son impar/par respectivamente), escriba $\sin(x)=\frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i}$ y $\cos(x)=\frac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}$ y a simplificar el producto $\sin(ax)\sin(bx)$ .