Desigualdad compuesta (doble)

Question

Sólo quiero entender por qué tenemos un enfoque específico para resolver inecuaciones dobles por ejemplo separando el enunciado $-6 < 2x-4 < 12$ en dos componentes. Trabajar primero los dos lados izquierdos y luego los dos lados derechos, etc.

Lo que me preocupa es lo siguiente. La siguiente afirmación es cierta.

$1 < 2 < 3$

En otras palabras, 3 es mayor que 2, que es mayor que 1. Por lo tanto, x = 2:

(x-1) < x < (x+1)

El enfoque estándar ya no funciona (creo) así que si trabajas desde la izquierda,

x - 1 < x

x - x < 1

y mientras 0 es menor que 1, lo cual es cierto, no hay variable x con la que trabajar. ¿No debería devolver algo como x > (0, 1, o cualquier número menor que 2) y x < (10, 20, o cualquier número mayor que 2)?

¿Por qué? ¿O qué estoy haciendo mal?

Gracias.

Answer 1

Bueno, en tu caso, asumiste $(x-1) < x < (x+1)$ es verdadera cuando $x=2$ pero también hay que tener en cuenta que $(x-1) < x < (x+1)$ es cierta para todos los valores reales de $x$ Por lo tanto, no tiene un valor definido al que se pueda "volver".

Puedes intentarlo: $x=1: 0 < 1 < 2$

$x=100: 99 < 100 < 101$ y la lista continúa

Y, como nota al margen, podemos ver que el $x$ se anulan entre sí, como en una ecuación. Por ejemplo, en $x + y = x + 3$

$x$ puede tomar cualquier valor y la ecuación seguirá siendo resoluble a lo largo de $y$ .

Así que..: $(x-1) < x < (x+1) \rightarrow -1 < 0 < 1$

Answer 2

Creo que estás malinterpretando fundamentalmente cómo estás utilizando las variables en tu ejemplo. Para explicar por qué, primero hay que entender lo que estás afirmando. Decir

¿No debería devolver algo como x > (0, 1 o cualquier número menor que 2) y x < (10, 20 o cualquier número mayor que 2)?

es lo mismo que decir

$x > 0, 1, 1.5, 1.9, 1.99, ...$ y $x < 100, 10, 5, 2.5, 2.1, 2.01, ...$

Podemos decir que $x \geq 2$ y $x \leq 2$ . Si sumamos estas dos desigualdades, obtenemos $x = 2$ .

Sin embargo, $x-1 < x < x+1$ es una afirmación totalmente distinta. Sí, $x = 2$ es una solución a este conjunto de desigualdades, pero hay infinitas soluciones más. Por ejemplo, si $x = 7$ entonces $6<7<8$ .

Por lo tanto, puedes jugar con las desigualdades, pero no vas a encontrar la solución única $x = 2$ porque las desigualdades tienen más soluciones, infinitamente más de hecho.