Mapas de racionales dominantes

Question

La Universidad me voy a no tener ninguno de los cursos en (clásica) de la Geometría Algebraica, así que estoy tratando de aprender. Estoy bastante cómodo con el contenido que he tratado hasta ahora, aparte de lo que se llama un "fácil" de los resultados que no entiendo. Así que mi pregunta:

¿Por qué es el concepto de lo racional mapa entre dos variedades de ser dominante bien definido. Específicamente vamos a $X$ $Y$ variedades; deje $U$ $V$ ser abierto conjuntos de $X$; y deje $(f,U)$ $(g,V)$ equivalente racional de los mapas de$X$$Y$. ¿Por qué la imagen de $f$ denso en $Y$ si y sólo si la imagen de $g$ es denso en $Y$?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esto es puramente topológico hecho:

En primer lugar tenemos a $f(U \cap V) = g(U \cap V) \subset g(V)$ $(f,U)$ $(g,V)$ son equivalentes. Si $f(U)$ es denso en $Y$ tenemos

$Y=\overline{f(U)}=\overline{f(\overline{U \cap V})} = \overline{f(U \cap V)} \subset \overline{g(V)}$

donde la segunda igualdad se sigue de la continuidad de la $f$. Tenga en cuenta también que me tomo el cierre de $U \cap V$$U$, por lo que el $\overline{U \cap V}=U$. Por lo tanto $g(V)$ es denso en $Y$.

EDIT: En vista de M Turgeons respuesta debo añadir que mi variedades son siempre irreductible. He utilizado este hecho a la conclusión de que la $\overline{U \cap V}=U$ $U \cap V$ es denso en $X$ (no es un vacío abierto subconjunto de un espacio irreductible).

Answer 2

La razón por la que está bien definido es porque la definición de un dominante racional mapa es la siguiente:

Definición: Una racional mapa de $(f,U)$ es dominante es que existe un racional mapa de $(g,V)$ equivalente a $(f,U)$ de manera tal que la imagen de $g$ es denso en su codominio.

El punto clave aquí es que yo podría tomar un pequeño conjunto abierto como el dominio para mi racional mapa de tal forma que la imagen no densa, pero aún así obtener una dominante racional mapa. (Agregado: Como Mate citados en los comentarios, la correcta definición de racional mapa en el reducible caso se asegura de que esto nunca sucede.)

Agregado: Para mi último párrafo, todo esto depende de su definición de variedad. Si usted asume (como es el caso a menudo en la geometría algebraica, pero no en la teoría algebraica de los grupos) que una variedad es irreducible, entonces tenemos lo siguiente:

Lema: Vamos a $(f,U)$ $(g,V)$ dos equivalentes racional de los mapas, donde se denota el codominio por $Y$. A continuación, $f(U)$ es denso en $Y$ si y sólo si $g(V)$ es.

Prueba: Tenemos los siguientes datos generales de topología: Para cualquier subconjunto $O\subseteq U$,$f(\overline{O})\subseteq \overline{f(O)}$. Pero si $O$ es abierto y no vacío, es denso en $U$, y por lo $\overline{O}=U$.

Answer 3

Gracias por tu ayuda Nils y M Turgeon. Lo que no me di cuenta era si $f: X \to Y$ es un mapa continuo de espacios topológicos, y $U$ es un subconjunto de $X$, entonces contiene $f(\overline{U})$ $\overline{f(U)}$. ¿Es la siguiente una prueba correcta de este hecho?

Desde $\overline{f(U)}$ se cerró $Y$, % continuidad $f^{-1}(\overline{f(U)})$está cerrado en $X$. Desde además, $U\subseteq f^{-1}(\overline{f(U)})$, se deduce que $\overline{U}\subseteq f^{-1}(\overline{f(U)})$ $f(\overline{U})\subseteq \overline{f(U)}$.