Título. Para qué grupos topológicos $G$ podemos tomar $EG \rightarrow BG$ sea de la forma $S^{\infty} \rightarrow BG$ ?
Si $G$ es un subgrupo de $S^0,S^1,S^3$ o $S^7$ esto induce una acción libre sobre $S^{\infty}$ y por tanto un $G-$ haz principal $S^{\infty} \rightarrow BG$ . ¿Se cumple el sentido inverso? Es decir, si $G$ actúa libremente sobre $S^{\infty}$ ¿se encuentra en alguno de los $S^0,S^1,...,S^7$ como un subgrupo tal que la acción inducida sobre $S^{\infty}$ ¿es el mismo?
Me gusta pensar en $EG$ y $BG$ en términos de espacios de configuración.
El espacio $BG$ puede identificarse con el siguiente espacio de configuración. Consiste en configuraciones de un número finito de puntos en el intervalo abierto $(0,1)$ con los puntos que tienen etiquetas en el grupo topológico $G$ . Se topologiza de modo que
Es un bonito ejercicio ver que esto concuerda con la definición habitual de $BG$ como la realización geométrica de un espacio simplicial.
$EG$ tiene una descripción similar como configuraciones de puntos en el intervalo semiabierto $[0, 1)$ . En este caso, las puntas no pueden deslizarse por el extremo cerrado, y sólo pueden "desaparecer" deslizándose por el extremo abierto.
Si todo se desliza fuera del extremo abierto, se produce una contracción en la configuración vacía, por lo que $EG$ es contraíble.
El mapa $EG \to BG$ es sólo la restricción de configuraciones.
La acción de $G$ en $EG$ es la siguiente. Cada configuración en $EG$ puede considerarse que tiene el punto $0 \in [0,1)$ como parte de ella - o ya está etiquetada o le damos la etiqueta $e \in G$ . La acción de $G$ sólo multiplica la etiqueta del punto $0$ a la izquierda.
A partir de estas descripciones (o de las simplificaciones habituales) se puede realizar $EG$ como un cierto colímite de espacios simples que consisten en productos de intervalos (abiertos y semiabiertos) y copias de $G$ .
Si $G$ es un grupo de Lie de dimensión finita con un número contable de componentes, entonces a partir de esta descripción del colímite es posible ver que localmente $EG$ es de la forma $K \times \mathbb{R}^\infty$ où $K$ es un repliegue de vecindad de $\mathbb{R}^\infty$ (que puede ser diferente en distintos puntos - no nos importa). Si $G$ tiene un número finito de componentes $K$ será incluso un complejo CW localmente finito. Si hay un número contable de componentes $K$ se parecerá a un complejo CW contable de dimensión finita, que todavía se puede incrustar bien en $\mathbb{R}^\infty$ como un repliegue vecinal.
A partir de los resultados citados en esta excelente respuesta de MO: https://mathoverflow.net/a/293409/184
deducimos los siguientes hechos sorprendentes (1) $EG$ se modela localmente en $\mathbb{R}^\infty$ y (2) para espacios modelados localmente en $\mathbb{R}^\infty$ la equivalencia homotópica implica homeomorfismo.
Puesto que ambos $EG$ y $S^\infty$ son espacios contractibles modelados localmente en $\mathbb{R}^\infty$ se deduce que tenemos un homeomorfismo $EG \cong S^\infty$ .
En resumen: Para cualquier grupo de Lie de dimensión finita $G$ con un número contable de componentes se puede tomar $EG \cong S^\infty$ . Por ejemplo $G$ puede ser cualquier grupo discreto contable. Sin embargo, la acción libre de $G$ en $S^\infty$ se realiza a través de un homeomorfismo posiblemente extraño y probablemente no tiene nada que ver con $G$ actuando sobre esferas de dimensión finita.
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