¿Es cierto que cualquier subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ tiene a lo sumo un número contable de componentes conectados?

Question

Quiero entender los conjuntos abiertos conectados en $\mathbb{R}^n$ . No se me ocurre ningún conjunto abierto que tenga más componentes conexas que las contables. ¿Es esto cierto o hay algún contraejemplo?

Answer 1

Sí, es cierto.

Esto se debe a que los componentes de un conjunto abierto son conjuntos abiertos disjuntos y ${\bf R}^n$ es separable (las tuplas racionales son densas).

Answer 2

Un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ puede tener como máximo un número contable de componentes conectados. Esto se debe al hecho de que en cada una de dichas componentes siempre es posible encontrar un punto $x=(x_1,\ldots,x_n)$ donde todos $x_i$ son racionales. Y como todos esos puntos son contablemente muchos, entonces los componentes son a lo sumo contablemente muchos.

Answer 3

Es cierto. Cada balón abierto en $\Bbb R ^2$ contiene un par de números racionales. Por tanto, no puede haber más que un número contable de conjuntos abiertos desconectados.

Answer 4

Su conjetura es cierta. Para cada componente abierta del conjunto abierto podemos tomar el punto que tiene coordenadas racionales pertenece a esta componente abierta. Correspondiendo la componente abierta y este número racional se obtiene la función del conjunto de componentes abiertas de un conjunto abierto dado al conjunto contable, por lo que hay a lo sumo contablemente componentes abiertas.