Integración por sustitución

Question

Estoy tratando de desentrañar la integración de la pregunta a continuación. Pero no puedo ver de dónde viene el 1/3 donde los valores de u y du se substituyen de nuevo. Supongo que tiene algo que ver con el x^2 pero no lo veo.

Cualquier consejo sobre cómo proceder o buenos artículos sobre el tema serían muy apreciados.

Answer 1

Es debido a la sustitución $du = 3x^2dx$. Si notas en tu integral simplemente tienes la cantidad $x^2dx$, no $3x^2dx$. Entonces, por la primera ecuación, puedes dividir entre tres para obtener $x^2dx = \frac{du}{3}$. Ahora, al transformar tu integral a una en términos de $u$ obtenemos $$\begin{align}\int x^2\sqrt{x^3+2}dx = \int \sqrt{x^3+2}(x^2dx) \\ = \int \sqrt{u}\left(\frac{du}{3}\right) \\ = \frac{1}{3} \int \sqrt{u}\space du \end{align}$$ lo cual tiene una primitiva muy clara. Los coeficientes y constantes que aparecen en la integración pueden ser un poco complicados de racionalizar a veces, pero aquí hay una forma de pensarlo: ¿Qué coeficiente $C$ necesitaría en $(x^3+2)^{3/2}$ para que si tomara la derivada, el coeficiente desapareciera? La respuesta aquí resulta ser $\frac{2}{9}$, como puedes ver al evaluar $$\begin{align}\left[\frac{2}{9}(x^3+2)^{3/2}+\text{constante}\right]' = \frac{2}{9} \cdot 3x^2 \cdot \frac{3}{2} (x^3+2)^{1/2} \\ = \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{2}x^2(x^3+2)^{1/2} \\ = x^2(x^3+2)^{1/2}\end{align}$$ devolviéndote a la cantidad que intentabas integrar en primer lugar. Así que, en el proceso de evaluar la integral, tienes que de cierta forma "descubrir" los coeficientes que habían sido cancelados en el proceso de tomar la derivada.

Answer 2

$$u = x^3 +2\implies du = 3x^2dx \tag{*}$$ Dado que para mantener la integral original solo necesitamos $x^2dx$, es necesario dividir ambos lados de la ecuación final en (*) por 3.