Cálculo del plano hiperbólico geodésico

Question

Supongamos que nos dan una cierta métrica riemanniana $$\frac{(dx)^2 + (dy)^2}{y^2}$$

¿Cómo se calculan las geodésicas?

Sé que tenemos la ecuación geodésica $$\ddot{x}^k(t) + \dot{x}^i(t)\dot{x}^j\Gamma_{ij}^k(x(t)) = 0$$

y que sólo tenemos dos componentes, por lo tanto una geodésica $\gamma$ debe ser de la forma $\gamma(t) = (x^1(t),x^2(t))$ . Redactar el caso $k = 1$ obtenemos $$\ddot{x}^1(t) + (\dot{x}^1(t))^2\Gamma_{11}^1(x(t)) + 2\dot{x}^1(t)\dot{x}^2(t)\Gamma_{12}^1(x(t)) + (\dot{x}^2(t))^2\Gamma_{22}^1(x(t)) = 0$$

También calculé $\Gamma^1_{11} = \Gamma^1_{22} = 0$ y $\Gamma^1_{12} = -1/y$ . Ahora mi problema es que no sé muy bien cómo introducir los símbolos de Christoffel ya que se evalúan en $x(t)$ .

Sé que existe un problema similar aquí pero sé cómo resolver la EDO resultante. Mi problema es que me gustaría llegar a la ecuación inicial.

Edita. La ecuación geodésica está tomada de Riemannian Manifolds de John M. Lee, p. 58.

Answer 1

$x(t)$ significa lo mismo que $\gamma(t)$ en nuestra situación, en la que $\gamma(t)=(x^1(t),\ldots,x^n(t))$ ya que $x(t)$ suele ser la abreviatura de $(x^1(t),\ldots,x^n(t))$ . Así que sólo tenemos que conectar $(x^1(t),\ldots,x^n(t))$ en el símbolo de Christoffel $\Gamma_{ij}^k(x^1,\ldots,x^n)$ . Por ejemplo, en este problema concreto tenemos $$\Gamma_{11}^1=\Gamma_{22}^1=\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=0,~\Gamma_{11}^2=1/y,~\Gamma_{22}^2=\Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1=-1/y$$ A continuación, conecte $x=x(t),y=y(t)$ para ver que a lo largo de la geodésica $\gamma$ tenemos $$\Gamma_{11}^1=\Gamma_{22}^1=\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=0,~\Gamma_{11}^2=1/y(t),~\Gamma_{22}^2=\Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1=-1/y(t)$$ La ecuación geodésica pasa a ser \begin{align} \ddot x(t)-2\dot x(t)\dot y(t)/y(t)=0\\ \ddot y(t)+(\dot x(t))^2/y(t)-(\dot y(t))^2/y(t)=0 \end{align} La primera ecuación puede integrarse fácilmente en $$\dot x(t)=c(y(t))^2$$ Mientras que la segunda ecuación es más complicada de tratar. Sin embargo, se puede comprobar que $$\dfrac d{dt}\frac{\dot x^2+\dot y^2}{y^2}=\frac{2}{y^3}((\dot x\ddot x+\dot y\ddot y)y-(\dot x^2+\dot y^2)\dot y)=0$$ lo que conduce a otra integración. Ahora no es difícil resolver esas ecuaciones. La solución completa se puede encontrar aquí que es un semicírculo centrado en el eje real.