Evaluar la integral:
\begin{align} \int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}{\mathrm{d} y\,\mathrm{d}x \over 1 + y^{3}} \end{align}
No entiendo cómo es posible. Existe una fórmula para evaluar $1/\left(1+y^{3}\right)$ pero se convierte en un lío extremadamente complicado que no puedo imaginar que se pueda volver a integrar. ¿Hay alguna técnica de simplificación que me estoy perdiendo aquí $?$ .
Invierta el orden de integración. ¿Cómo? Traza la región de integración. Es todo $y \in [\sqrt{x},2]$ y luego $x \in [0,4]$ . Así pues, imaginemos que encerramos el gráfico de $y=\sqrt{x}$ en una caja $[0,4] \times [0,2]$ . Entonces estamos integrando la parte superior de la caja, por encima de la curva, $y$ primero, y luego $x$ .
Invertir significa integrar sobre la misma región, $x$ primero, y luego $y$ . La integral resultante es muy sencilla, y la respuesta es $(2/3) \log{3}$ .
Hay muchas preguntas de doble integral como ésta. La idea es que cambiando el orden de integración, una integral que podría ser difícil o incluso imposible de calcular se vuelve mucho más fácil.
Podemos ver en los límites de integración que estamos integrando sobre la región limitada por $y=\sqrt{x}$ , $y=2$ , $x=0$ y $x=4$ .
La integración por intercambio significa integrar por $x$ primero, para que $x$ va de $0$ a $y^2$ y $y$ va de $0$ a $2$ .
$$\int_{0}^2 \int_{0}^{y^2} \frac{1}{1+y^3} dx dy = \int_{0}^2 \frac{y^2}{1+y^3} dy$$
Esto puede completarse utilizando el método de sustitución.
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