pregunta relacionada con el signo radical

Question

Mi pregunta es

Sea $p(x)= \sqrt{x + 2 + 3\sqrt{2x-5}} - \sqrt{x - 2 + \sqrt{2x-5}}$ . T $p(2012)^6$ ¿Iguales?

Cualquier solución a esta pregunta sería muy apreciada. Muchas gracias,

Answer 1

$a=\sqrt{2014+3\sqrt{4019}}-\sqrt{2010-\sqrt{4019}}=$ ?

Preguntémonos si hay algunos números bonitos $u$ , $v$ tal que $\sqrt{2010-\sqrt{4019}}=u-v\sqrt{4019}$ es decir $$2010-\sqrt{4019}=u^2+4019v^2-2uv\sqrt{4019}.$$ Después de algunos intentos, descubrimos que $u=v=\frac1{\sqrt2}$ trabajo, lo que significa $$\sqrt{2010-\sqrt{4019}}=\frac{\sqrt{4019}-1}{\sqrt2}.$$

Del mismo modo, podemos averiguar que $$\sqrt{2014+3\sqrt{4019}}=\frac{\sqrt{4019}+3}{\sqrt2}.$$

Así que vemos que $$a=\frac{\sqrt{4019}+3}{\sqrt2}-\frac{\sqrt{4019}-1}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$$ y $$a^6=(2\sqrt{2})^6=8^3=512.$$

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Esto puede comprobarse mediante WolframAlpha .

De hecho, he hecho un poco de trampa: sólo después de ver el resultado en WA he intentado comprobar si las expresiones se pueden reescribir de la forma anterior.

Answer 2

Compute $p(2012)=\sqrt{2014+3 \sqrt{4019}}-\sqrt{2010+\sqrt{4019}}$ y aplicar la fórmula para raíces cuadradas dobles , observando que $2010^2-4019 = 2009^2$ y $2014^2-9 \cdot 4019 = 2005^2$ . Ahora puede calcular el resultado deseado. Por cierto, el resultado final es $8$ .

Perdón por la referencia italiana, pero se puede leer fácilmente la fórmula para simplificar una expresión como $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ cuando $a^2-b$ es un cuadrado perfecto.

Answer 3

Este problema puede resolverse utilizando el método que se emplea para denestar radicales de la forma $\sqrt{a+c\sqrt{b}}$ para que $\sqrt{a+c\sqrt{b}}=\sqrt{d}+\sqrt{e}$ . Ver la pregunta de Stack Exchange número 220818 para ver un ejemplo de ello. Esto nos lleva a establecer cada uno de los radicales anidados anteriores igual a la suma de dos raíces cuadradas de forma que $$\sqrt{x + 2 + 3\sqrt{2x-5}} =(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ y $$\sqrt{x - 2 + \sqrt{2x-5}}=(\sqrt{e}+\sqrt{f})$$ Vamos a negar la primera anidada radical puede hacer el segundo. I $$a+b = (x+2)$$ y $$2\sqrt{a}\sqrt{b} = 3\sqrt{2x-5}$$ Eleva al cuadrado ambos lados de la segunda ecuación para obtener $4ab=18x-45$ y resolver para $b$ para obtener $b=\frac{18x-45}{4a}$ entonces sustituya $b$ en la primera ecuación para obtener $$a+\frac{18x-45}{4a}=(x+2)$$ multiplique ambos lados por $a$ para obtener la ecuación cuadrática $$a^2-(x+2)a+\frac{18x-45}{4}=0$$ Ahora podemos resolverlo utilizando la fórmula cuadrática para obtener $$\frac{x+2+\sqrt{(x+2)^2-\frac{4(18x-45)}{4}}}{2}$$ y $$\frac{x+2-\sqrt{(x+2)^2-\frac{4(18x-45)}{4}}}{2}$$ o $$\frac{x+2+\sqrt{(x-7)(x-7)}}{2}$$ y $$\frac{x+2-\sqrt{(x-7)(x-7)}}{2}$$ Por lo tanto, las dos raíces resultan ser $\frac{2x-5}{2}$ y $\frac{9}{2}$ . Porque buscamos la suma de dos raíces cuadradas $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ tenemos que tomar las raíces cuadradas de cada una de las raíces de la cuadrática y esto nos da la suma $$\frac{\sqrt{4x-10}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ para el primer radical anidado de tu pregunta.

Utiliza ahora el mismo procedimiento para negar el segundo radical anidado $$\sqrt{x - 2 + \sqrt{2x-5}}$$ Siguiendo el procedimiento de denegación anterior se obtiene $$\frac{\sqrt{4x-10}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Combinando los dos resultados obtenemos $$\left(\frac{\sqrt{4x-10}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{4x-10}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$$ Así que puedes ver que el resultado es $p(x) = \sqrt{2}$ para todos $x$ .