Si realizo un cambio de variables para variables aleatorias independientes y uniformes $x, y, z$ que es algo como lo siguiente: $$u=x-y+z/2 \\ v=z/2 - x \\ w = z/2$$ ¿cómo puedo saber si $u,v,w$ siguen estando uniformemente distribuidos? En el ejemplo concreto que he dado antes, $w$ está claro que sigue estando uniformemente distribuida, pero he oído que hay una forma de hacerlo utilizando el jacobiano . No he podido encontrar información al respecto usando google. ¿Alguien me puede ayudar? ¡¡¡Gracias!!!
Respuestas
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Es necesario caracterizar uniformemente distribuido. Sea $m$ sea la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^n$ .
El hecho clave aquí es que si $L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un mapa lineal, y $A$ un conjunto medible, entonces $m(LA) = |\det L| m (A)$ . (En este caso, el jacobiano de la transformación es $L$ ya que es lineal).
Supongamos que $p$ es una medida de probabilidad sobre los subconjuntos de Borel de $\mathbb{R}^n$ . Entonces llamaré a $p$ distribuidos uniformemente en un conjunto $\Omega$ de medida estrictamente positiva si $p A = {1 \over m \Omega} m(A \cap \Omega)$ donde $A$ es un subconjunto de Borel de $\mathbb{R}^n$ .
En el ejemplo anterior, $x,y,z$ son independientes y están uniformemente distribuidos, por lo que podemos tomar $\Omega$ tener la forma $\Omega = I_x \times I_y \times I_z$ donde $I_x,I_y,I_z$ son intervalos acotados no degenerados. La medida sobre $\mathbb{R}^3$ en este caso viene dada por $p(A) = {1 \over m \Omega} m(A \cap \Omega)$ . (Tenemos $m \Omega = l(I_x)l(I_y)l(I_z)$ .)
En el ejemplo anterior, el cambio de variables se representa mediante el operador lineal $L$ cuya matriz viene dada por $\begin{bmatrix} 1 & -1 & {1 \over 2} \\ -1 & 0 & {1 \over 2} \\ 0 & 0 & {1 \over 2} \end{bmatrix}$ . La única característica relevante de $L$ es que $\det L \neq 0$ .
La transformación $L$ induce una medida de probabilidad en $\mathbb{R}^3$ definido por $\mu(A) = p(L^{-1} A)$ . Queremos comprobar si es una medida uniforme.
Tenemos \begin{eqnarray} \mu(A) &=& p(L^{-1} A) \\ &=& {1 \over m \Omega} m((L^{-1} A) \cap \Omega) \\ &=& {1 \over m \Omega} m((L^{-1} (A \cap (L \Omega))) \\ &=& {1 \over m \Omega} { 1 \over |\det L| } m(A \cap (L \Omega)) \\ &=& {1 \over m (L \Omega)} m(A \cap (L \Omega)) \\ \end{eqnarray} Por lo tanto $\mu$ está uniformemente distribuida en $L \Omega$ .
(Obsérvese que las variables $u,v,w$ ya no son independientes).
Matthew Scouten
Puntos
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Al tratarse de una transformación lineal, el jacobiano es constante, por lo que la densidad conjunta de $u,v,w$ serán uniformes en su soporte, que es la imagen del soporte de $x,y,z$ bajo la transformación. Si, por ejemplo, $x,y,z$ son uniformes en el intervalo $[0,1]$ entonces el soporte de $[u,v,w]$ es el politopo con vértices $[0,0,0], [1, -1, 0], [-1, 0, 0], [0, -1, 0], [1/2, 1/2, 1/2], [3/2, -1/2, 1/2], [-1/2, 1/2, 1/2], [1/2, -1/2, 1/2]$ .
