10ª derivada de MacLaurin

Question

Siento mi lenguaje. El inglés no es mi lengua materna.

Estoy tratando de encontrar $$f^{(10)}(0)\;\;\text{when}\;\;f(x)=\frac{1}{2+x}$$ utilizando MacLaurin. La respuesta es: $$f^{(10)}(0)=\frac{10!}{2^{11}}$$

Wolfram Alpha da la fórmula: $$\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^n x^n (-1)^n2^{-1-n}.$$ ¿Cómo puedo pasar de $\dfrac{1}{2+x}$ a $\displaystyle \sum_{n=0}^n x^n (-1)^n2^{-1-n}$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$$\frac {1}{(2+x)}= \frac{1}{2} \frac {1}{(1+x/2)}= \frac{1}{2} \frac {1}{(1-(-x/2))}$$

Answer 2

La serie es un geométrico uno: para cualquier $x$ tal que $|x|<2$ , $$\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-(-x/2)}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-x/2)^k$$ Por otra parte, la función dada es analítica en $|x|<2$ con la ampliación de MacLaurin $$\frac{1}{2+x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.$$ Por lo tanto, se deduce que $$\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1/2)^k}{2}\implies f^{(k)}(0)=\frac{(-1)^k k!}{2^{k+1}}.$$