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¿Cuál es la distribución de la diferencia de dos distribuciones t

... ¿y por qué?

Suponiendo $X_1$ , $X_2$ son variables aleatorias independientes con media $\mu_1,\mu_2$ y varianza $\sigma^2_1,\sigma^2_2$ respectivamente. Mi libro de estadística básica me dice que la distribución del $X_1-X_2$ tiene las siguientes propiedades:

  • $E(X_1-X_2)=\mu_1-\mu_2$
  • $Var(X_1-X_2)=\sigma^2_1 +\sigma^2_2$

Ahora digamos $X_1$ , $X_2$ son distribuciones t con $n_1-1$ , $n_2-2$ grados de libertad. ¿Cuál es la distribución de $X_1-X_2$ ?

Esta pregunta ha sido editada: La pregunta original era "¿ Cuáles son los grados de libertad de la diferencia de dos distribuciones t ?" . mpiktas ya ha señalado que esto no tiene sentido ya que $X_1-X_2$ no tiene distribución t, por muy aproximadamente normal que sea $X_1,X_2$ (es decir, df alto) puede ser.

16voto

Marc-Andre R. Puntos 789

La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución t no tiene distribución t. Por lo tanto, no se puede hablar de grados de libertad de esta distribución, ya que la distribución resultante no tiene grados de libertad en el sentido que tiene la distribución t.

6voto

KhorneHoly Puntos 191

De acuerdo con las respuestas anteriores, la diferencia de dos variables aleatorias independientes con distribución t no tienen distribución t. Pero quiero añadir algunas formas de calcular esto.

  1. La forma más sencilla de calcularlo es mediante un método de Montecarlo. En R, por ejemplo, se toman muestras aleatorias de 100.000 números de la primera distribución t y, a continuación, se toman muestras aleatorias de otros 100.000 números de la segunda distribución t. Dejas que el primer conjunto de 100.000 números menos el segundo conjunto de 100.000 números. Los 100.000 nuevos números obtenidos son las muestras aleatorias de la distribución de la diferencia entre las dos distribuciones. Puedes calcular la media y la varianza simplemente utilizando mean() y var() .

    1. Se denomina distribución de Behrens-Fisher. Puede consultar la página Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Behrens%E2%80%93Fisher_distribution . El IC dado por esta distribución se denomina "intervalo fiduciario", esto es no una IC .

    2. La integración numérica podría funcionar. Esto continúa en el punto 2. Puede consultar la Sección 2.5.2 en Bayesian Inference in Statistical Analysis por Box, George E. P., Tiao, George C. Contiene los pasos detallados de la integración y cómo se aproxima a una distribución de Behrens-Fisher.

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