Entiendo el primer paso pero en el segundo ¿cómo llegan a uno negativo en el numerador? También ¿por qué muestran la definición de derivada de nuevo para el paso 2? ¿Cómo se llega a uno negativo?
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Chad
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Sea $h$ denotan el cambio en $x$ (delta x).
La definición de una derivada es $$f^{'}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
Lo que hizo el primer paso es determinar el numerador : $$f(x+h) - f(x) = -\frac{h}{x(x+h)}$$
Dividiendo el numerador por $h$ : $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = -\frac{1}{x(x-h)}$$
Y esto es lo que ocurre en el paso 2.
Espero que esto ayude.
Dices que entiendes el primer paso, así que estás de acuerdo en que $$f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{-\Delta x }{x(x + \Delta x)}$$ Observa que ésta es la parte superior de la fracción que buscamos para hallar la derivada (cuidado, el paso 2 todavía no es la definición de la derivada). Ahora dividimos por $\Delta x, $ así que $$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x }{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x }{x(x + \Delta x) \Delta x} $$ Ahora puede ver que el término $\Delta x $ se anula (pero observe que hay un signo menos), por lo que
$$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{-1}{x(x+\Delta x)}$$
Ahora estamos listos para tomar el límite (a partir de la definición de la derivada) $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = - \frac{1}{x^2}$$
