¿Tiene cada función una función continua con la misma integral?

Question

Dado $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ integrable, ¿es siempre posible encontrar una función continua $g\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $\int_0^1 \mid f(x)-g(x)\mid dx=0$ ?

Answer 1

Toma $g$ idénticamente igual a $\int_0^1 f(x)dx$

Answer 2

También puede tomar

$g(x)=\displaystyle\dfrac\pi2\int_0^1 f(t)\sin\left(\pi x\right)\,\mathrm{d}t\quad$ para todos $\;x\in\big[0,1\big]\;.$

Resulta que

$\displaystyle\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\left[\dfrac\pi2\int_0^1 f(t)\sin\left(\pi x\right)\,\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}x=$

$=\displaystyle\int_0^1\left[\dfrac\pi2\sin\left(\pi x\right)\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}x=$

$=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\cdot\int_0^1\dfrac\pi2\sin\left(\pi x\right)\mathrm{d}x=$

$=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\cdot\left[-\dfrac12\cos\big(\pi x\big)\right]_0^1=$

$=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\cdot\left[-\dfrac12\cos\pi+\dfrac12\cos0\right]=$

$=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\cdot\left(\dfrac12+\dfrac12\right)=$

$=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t$