Encontrar distintos todos enteros positivos $a,b,c,d,e$ con unas condiciones dadas.

Question

Encontrar distintos todos enteros positivos $a,b,c,d,e$ tal que

$$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\left(1+\frac{1}{d}\right)\left(1+\frac{1}{e}\right)-\frac{1}{abcde}$$

es un número entero positivo. $a,b,c,d,e$ No $1$.

¿Hay ningún método para ello? No tengo ni idea. Sólo lo puedo solucionar el límite. Encontré que si existen tales números enteros, la expresión puede ser $1,2$ o $3$.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$2\le a \le b \le c \le d \le e.$$

Denotar $$F(a)=\dfrac{a+1}{a},$$ $$F(a,b)=\dfrac{a+1}{a}\cdot \dfrac{b+1}{b},$$ $$...$$ $$F(a,b,c,d,e)=\dfrac{a+1}{a}\cdot \dfrac{b+1}{b}\cdot \dfrac{c+1}{c}\cdot \dfrac{d+1}{d}\cdot \dfrac{e+1}{e}. $$

Nota, que $$ (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(s+1)>abcde+1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}>1\etiqueta{1}. $$

Nota, que $$ F(a,b)-\dfrac{1}{ab}>F(a),\\ F(a,b,c)-\dfrac{1}{abc}>F(a,b)\\ F(a,b,c,d)-\dfrac{1}{abcd}>F(a,b,c),\\ F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}>F(a,b,c,d).\la etiqueta{2} $$

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A. A $(a,b,c,d,e)$ ser una solución, no debe ser $$ F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}\ge 2\etiqueta{3}, $$ $$ F(a,b,c,d,e)> 2\etiqueta{3'}. $$

Si $a\ge 7$, luego $$ F(a,b,c,d,e)\le F(a,a,a,a,a)\le\left(\dfrac{8}{7}\right)^5<2, $$ contradicción con $(3')$.

Por lo tanto, si $(a,b,c,d,e)$ es una solución, entonces se $$2\le a \le 6.\tag{4}$$

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B. Para cada una de las posibles $a$ cuenta el valor $$ N_a = \lfloor F(a)\rfloor $$ y centran su atención en $b$, que $$F(a,b,b,b,b)> N_a+1.$$

Para otros $b$ tendrá

$$ N_a\le F(a)<F(a,b)<F(a,b,c)<F(a,b,c,d)<F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}\le F(a,b,b,b,b)-\dfrac{1}{abcde} < N_a+1, $$

es decir, $F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}$ está entre dos números enteros consecutivos, por lo que no puede ser entero.

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C. Para cada posible par de $(a,b)$ cuenta el valor $$ N_b = \lfloor F(a,b)\rfloor $$ y centran su atención en $c$, que $$F(a,b,c,c,c)> N_b+1.$$

Para otros $c$ tendrá $$ N_b\le F(a,b)<F(a,b,c)<F(a,b,c,d)<F(a,b,c,d,e)-\dfrac{1}{abcde}\le F(a,b,c,c,c)-\dfrac{1}{abcde} < N_b+1. $$

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D. Para cada una de las posibles $(a,b,c)$ cuenta el valor $$ N_c = \lfloor F(a,b,c)\rfloor $$ y centran su atención en $d$, que $$F(a,b,c,d,d)> N_c+1.$$

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E. Para cada una de las posibles $(a,b,c,d)$ cuenta el valor $$ N_d = \lfloor F(a,b,c,d)\rfloor $$ y centran su atención en $e$, que $$F(a,b,c,d,e)> N_d+1.$$

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Aplicar el procedimiento descrito, se puede encontrar cuatro soluciones:

$(a,b,c,d,e) = (2,4,16,256,65534)$,
$(a,b,c,d,e) = (2,4,16,284,2506)$,
$(a,b,c,d,e) = (4,4,4,42,5374)$,
$(a,b,c,d,e) = (4,4,8,8,88)$;
dos de ellos tienen distintos valores de $a,b,c,d,e$:

$$(a,b,c,d,e) = (2,4,16,256,65534),$$ $$(a,b,c,d,e) = (2,4,16,284,2506).$$